Gå till innehåll

Ska jag byta kuvert?


GreenCap

Recommended Posts

Annars får du som Nidson säger oändligt EV.

Det får man absolut inte. Läs problemet igen.

Du har oändligt EV när du får ett kuvert i handen om alla positiva summor är lika möjliga, jo. Sannolikheten för att jag ska få mindre än en miljon kronor (eller annat valfritt tal) går ju mot noll när de möjliga summorna går mot oändligheten. Om alla summor upp till 10^9000 är lika möjliga ska jag ju ha en enorm otur om jag ska få mindre än 10^6. Och om alla summor upp till 10^7 000 000 000 000 är möjliga ska jag ju ha en sjuk otur för att få ett belopp under 10^9000. Och nu är alltså alla summor som finns lika möjliga, då behöver vi ha oändlig otur för att hamna under valfritt belopp.

 

Om jag får ett kuvert av dig där alla positiva summor är lika möjliga, vad är medelvärdet för hur mycket det ligger i kuvertet?

 

För övrigt så lär ett byte alltid vara EV- om man har med ett max (vilket man iofs inte har, men för sakens skull).

Det där får du nog utveckla.

Visst. Eftersom bytet från absolut minimum ger ett mycket mindre positivt värde än bytet från max ger negativt värde så blir det EV- att göra ett byte.

Men ser du inte att det EV:t uppvägs av att du tjänar på att byta när du inte ligger på max?

 

Annars kan vi ju dra in en till person igen. Du och jag får var sitt av kuverten. Det finns ett max. Om vi byter kuvert så byter vi med varandra. Enligt dig har vi alltså båda EV- på bytet.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

  • Svars 111
  • Created
  • Senaste svar

Top Posters In This Topic

Jag har funderat på det här hela dagen nu, och jag tror att det bästa sättet att frörklara paradoxen är att helt enkelt granska hur man ställer upp en formel för att beräkna ett EV.

 

Vi tänker oss att vi håller i ett kuvert som vi öppnat, och det innehåller 20 kr. Vi har fått information om att ett av kuverten innehåller dubbelt så mycket pengar som det andra. Vi vet därmed att det andra kuveret måste innehålla 40 eller 10 kr. Hur beräknar vi nu EV:t för ett byte?

 

Ett EV är per definition summan av (alla utfall i utfallsrummet, multiplicerade med sina respektive sannolikheter). Anta nu först, att vi erbjuds att byta våra 20 kr mot en slantsingling, där krona ger 40, och klave ger 10 kr. Kan vi här beräkna ett EV för att byta bort våra 20 kr och singla slant? Svaret är ja, eftersom vi känner alla utfall och alla tillhörande sannolikheter. Sannolikheterna summerar till 1, varför vi vet att vi fyllt hela utfallsrummet. Om vi väljer att singla slant, är vårt EV därför = 0,5 * 40 + 0,5 * 10 = 25 kr. 25 > de 20 vi håller i, varför slantsinglingen är ett bra vad för oss.

 

Om vi nu går tillbaks till ursprungsproblemet, och vill beräkna EV för ett kuvertbyte, stöter vi på problem. Vilka är utfallen? Vi vet att det måste vara 10 eller 40 kr, men ett av dessa värden är inget utfall. För att formeln för EV ska ge ett korrekt resultat, måste vi stoppa in alla möjliga värden i utfallsrummet, men 40 och 10 hör inte båda dit. Det enda vi vet är att ett av dem är rätt, men stoppar vi in båda i formeln, så räknar vi inte längre på ett EV för kuvertbyte.

 

En EV-beräkning av denna sort kräver kunskap om alla möjliga utfall. Det andra kuvertet har inte två möjliga utfall, utan ett. Däremot finns det bara två kandidater till detta utfall, men du kan inte stoppa in två värden med lika sannolikhet i en EV-beräkning, när du vet att ett av dem inte tillhör utfallsrummet.

 

Hoppas någon har synpunkter på detta. Kul tråd BTW!

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Annars får du som Nidson säger oändligt EV.

Det får man absolut inte. Läs problemet igen.

Du har oändligt EV när du får ett kuvert i handen om alla positiva summor är lika möjliga, jo. Sannolikheten för att jag ska få mindre än en miljon kronor (eller annat valfritt tal) går ju mot noll när de möjliga summorna går mot oändligheten. Om alla summor upp till 10^9000 är lika möjliga ska jag ju ha en enorm otur om jag ska få mindre än 10^6. Och om alla summor upp till 10^7 000 000 000 000 är möjliga ska jag ju ha en sjuk otur för att få ett belopp under 10^9000. Och nu är alltså alla summor som finns lika möjliga, då behöver vi ha oändlig otur för att hamna under valfritt belopp.

 

Om jag får ett kuvert av dig där alla positiva summor är lika möjliga, vad är medelvärdet för hur mycket det ligger i kuvertet?

 

Spelar ju ingen som helst roll för vår procentuella EV-förändring om x är 100 eller 1000000000000000000000000000. Jag hävdar att den är 0. Om du hävdar att den är oändlig så har du återigen missförstått problemet. Antingen är den 1.25 eller 0. Det är de enda alternativen som finns.

 

Men ser du inte att det EV:t uppvägs av att du tjänar på att byta när du inte ligger på max?

Man tjänar inget på ett EV0 byte. Utfallen tar, återigen, ut varandra.

 

Men ser du inte att det EV:t uppvägs av att du tjänar på att byta när du inte ligger på max?

 

Annars kan vi ju dra in en till person igen. Du och jag får var sitt av kuverten. Det finns ett max. Om vi byter kuvert så byter vi med varandra. Enligt dig har vi alltså båda EV- på bytet.

Och enligt dig har vi båda EV+.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Alltså, om siffran 8 har slumpats fram kan man ju bara få en lägre siffra om man byter och därför vill man då inte byta. EV:t i att byta ligger ju i att jag kan låta bli att byta när jag vet att det bara kan bli sämre. Programmet skulle i så fall alltså aldrig byta när det fick en åtta och alltid annars.

Läste denna post igen och förstår nu var du (felaktigt) får EV+ ifrån.

 

Jag saxxar från Wiki igen eftersom det är så roligt:

Let's say you are given two indistinguishable envelopes, each of which contains a positive sum of money. One envelope contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep whatever amount it contains. You pick one envelope at random but before you open it you're offered the possibility to take the other envelope instead.

 

Om någon berättar för dig när du har tagit det kuvertet med mest pengar i så är det givetvis EV+ att byta eftersom du bara har ett utfall kvar. Men så fungerar det naturligvis inte.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Och enligt dig har vi båda EV+.

Nej. Det positiva EV:t kommer av att jag bara byter när jag vet att jag har fördel, vilket jag vet om jag vet vilka sannolikheter det är för de olika beloppen i kuverten. Om du och jag spelar spelet mot varandra kommer jag att vinna i längden om jag känner till sannolikheterna och du inte gör det. Om vi båda känner till sannolikheterna och spelar efter dem kommer det bli dött lopp.

 

I exemplet med Bill Gates, där alla summor upp till 2 miljoner har lika stor sannolikhet och allt över 2 miljoner ha noll sannolikhet, så kommer jag att byta så länge jag inte får 2M i kuvertet, medan du kanske kommer byta bort din 2M:are ibland i hopp om en 4M:are som inte finns. Däri ligger mitt EV i att byta. Om du också känner till alla belopp kommer ingen att byta bort sin 2M:are och ingen kommer att tjäna på ett byte.

 

Så, nu har jag förklarat min del och nu väntar jag med spänning på hur du ska förklara att det alltid är EV- att byta när maxbeloppet är känt.

 

Spelar ju ingen som helst roll för vår procentuella EV-förändring om x är 100 eller 1000000000000000000000000000. Jag hävdar att den är 0. Om du hävdar att den är oändlig så har du återigen missförstått problemet. Antingen är den 1.25 eller 0. Det är de enda alternativen som finns.

Vi pratar inte om EV:t på att byta kuvert nu, utan om ditt EV på att få ett kuvert. Om det ligger 10 kr i det ena och 5 i det andra är ditt EV på att slumpvis välja ett kuvert 7,5 kr. Vad är ditt EV om vilken summa som helst kan ligga i kuvertet?

 

Här är min tes: Om jag får ett av två kuvert, får titta hur mycket det ligger i det, och dessutom vet sannolikheten för vilka summor som kan ligga i det andra kuvertet (vilket jag t ex* kan räkna ut om jag vet vilka summor Bill Gates kompis har stoppat i hur många kuvert), så kan jag göra ett medvetet val och i snitt ha positiv förväntan på mitt val.

 

Om jag inte vet båda dessa saker, dvs dels sannolikheterna för hur stor summan i respektive kuvert är, dels hur mycket pengar det ligger i det kuvert jag har fått, så kan jag inte göra ett medvetet val utan har EV=0 på att byta.

 

Om du inte håller med om detta, förklara var jag har fel och varför.

 

*Notera att jag skriver "t ex". Scenariot med Gates är ju bara ett exempel på hur sannolikhetsfördelningen kan se ut. Den springande punkten är att jag kan räkna ut sannolikheterna.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Om någon berättar för dig när du har tagit det kuvertet med mest pengar i så är det givetvis EV+ att byta eftersom du bara har ett utfall kvar. Men så fungerar det naturligvis inte.

Jo, så fungerar det i sammanhanget du har citerat mig ifrån. Jag har hela tiden sagt att förutsättningarna för att man ska ha EV+ på att byta är att man vet vad maxsumman är och man vet hur mycket som ligger i ens kuvert. I originalproblemet vet man varken det ena eller det andra och därmed är EV på att byta 0.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Alltså, om siffran 8 har slumpats fram kan man ju bara få en lägre siffra om man byter och därför vill man då inte byta. EV:t i att byta ligger ju i att jag kan låta bli att byta när jag vet att det bara kan bli sämre. Programmet skulle i så fall alltså aldrig byta när det fick en åtta och alltid annars.

Läste denna post igen och förstår nu var du (felaktigt) får EV+ ifrån.

 

Jag saxxar från Wiki igen eftersom det är så roligt:

Let's say you are given two indistinguishable envelopes, each of which contains a positive sum of money. One envelope contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep whatever amount it contains. You pick one envelope at random but before you open it you're offered the possibility to take the other envelope instead.

 

Om någon berättar för dig när du har tagit det kuvertet med mest pengar i så är det givetvis EV+ att byta eftersom du bara har ett utfall kvar. Men så fungerar det naturligvis inte.

 

Edit: Du hann svara på det medan jag skickade iväg.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Jag har hela tiden sagt att

Tycker jag inte alls att du hela tiden sagt, eftersom du hävdat att flertalet problem som inte har de undre förutsättningarna var EV+. Antar att vi pratat förbi varandra.

 

förutsättningarna för att man ska ha EV+ på att byta är att man vet vad maxsumman är och man vet hur mycket som ligger i ens kuvert

Då är jag nöjd.

 

Att du har EV- vid ett byte där det finns ett max förutsätter att du inte vet om när du har max. Men det är möjligt att det är EV0. Använde ordet "lär" just för att jag inte var säker och inte tänkte sitta och klura på det. EV+ blir det iaf aldrig, vilket var det viktiga i sammanhanget.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Gäst
Svara i detta ämne...

×   Du har klistrat in innehåll med formatering.   Ta bort formatering

  Endast 75 max uttryckssymboler är tillåtna.

×   Din länk har automatiskt bäddats in.   Visa som länk istället

×   Ditt tidigare innehåll har återställts.   Rensa redigerare

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.


×
×
  • Skapa nytt...