Ska jag byta kuvert?

[Waggho]

Ytterligare en instickare: Man kanske inte vet den exakta maxgränsen men kan ändå göra en bedömning som gör att man har +EV på att byta. Om min familj exempelvis har för vana att leka den här leken som en födelsedagspresent skulle jag med samma summa i kuvertet agera annorlunda beroende på vem som ger det.

 

För att göra exemplet tydligare kan vi ändra faktorn 2 till 10, dvs det ligger 10 gånger så mycket i den ena som det andra kuvertet.

 

Min välbeställda farmor låter mig välja mellan två kuvert. Jag öppnar det ena och hittar 100 kr. Jag byter eftersom jag tror att hon skulle kunna ge mig 1000 kr. Jag uppskattar alltså hennes maxgräns till att vara 1000 kr eller mer.

 

Min tolvåriga lillebror låter mig välja mellan två kuvert. Jag öppnar det ena och hittar 100 kr. Jag byter inte eftersom det verkar orimligt att han skulle stoppa ner 1000 kr i ett av kuverten. Jag uppskattar alltså hans maxgräns till nånstans mellan 100 och 1000 kr.

[Hjort]

Det är ett odefinierat problem. Precis som "en fnord är 3 gyflaxer, är en zafrusk mer än en fnord?" eller division med noll.

 

Grejen är att det saknas en sannolikhetsdistribution för de möjliga beloppen i kuvertet, så det blir en meningslös fråga. De flesta antar att något sånt finns, men det gör det inte eftersom det inte anges explicit och inte heller är självklart. Att översätta det till ett praktiskt problem, som Waggho gjorde, är lite dumt. Dels för att det gör hela grejen trivial och ointressant och dels eftersom det inte är det minsta analogt till en verklig situation.

 

Läxan man bör lära sig här handlar om hur man definierar en problemställning bra, inte om paradoxer.

[Waggho]

Grejen är att det saknas en sannolikhetsdistribution för de möjliga beloppen i kuvertet, så det blir en meningslös fråga. De flesta antar att något sånt finns, men det gör det inte eftersom det inte anges explicit och inte är självklart.

I den senaste varianten som GreenCap framförde där Bill Gates kompis stoppade i pengar i en massa kuvert upp till 2 000 000 kr och sedan lottade fram ett kuvertpar finns det ju en sannolikhet för varje belopp. Och den är noll för 4 000 000 varför man alltid kommer att förlora när man byter tvåmiljonaren.

[Hjort]

Och den är noll för 4 000 000 varför man alltid kommer att förlora när man byter tvåmiljonaren.

Ja, men det problemet är ju också ointressant. Det handlar ju bara om ekvationera lite hit och dit så hittar man n.

[baloobas]

Länken har postats förut, men eftersom ingen verkar läsa den...

 

Wikipedia, the free encyclopedia

This is still an open problem among the subjectivists as no consensus has been reached yet.

[Dollarturist]

Grejen är att det saknas en sannolikhetsdistribution för de möjliga beloppen i kuvertet, så det blir en meningslös fråga. De flesta antar att något sånt finns, men det gör det inte eftersom det inte anges explicit och inte är självklart.

I den senaste varianten som GreenCap framförde där Bill Gates kompis stoppade i pengar i en massa kuvert upp till 2 000 000 kr och sedan lottade fram ett kuvertpar finns det ju en sannolikhet för varje belopp. Och den är noll för 4 000 000 varför man alltid kommer att förlora när man byter tvåmiljonaren.

Ponera att jag skriver ett program som slumpar ett tal mellan exempelvis 1 och 8 och låter den siffran som slumpas fram vara ett av elementen i vektorn {1,2,4,8,16,32,64,128,256,512}. De möjliga elementen skulle då vara från och med element 1 som innehåller 2 och element 8 som innehåller 256. Enligt dig skulle alltså ett byte till ett annat element som alltså antingen kan vara elementet framför eller bakom i vektorn (du har ingen aning om vilket) vara +EV? Om jag då slumpar ett byte till antingen elementet före eller efter i vektorn med vardera 50% sannolikhet och utför detta byte så gör jag ju egentligen samma sak som du skriver ger positivt väntevärde. Eller har jag missuppfattat dig?

[Waggho]

Jag kan inte svara på din fråga eftersom jag inte vet något om vektorer och element.

[Dollarturist]

Jag kan inte svara på din fråga eftersom jag inte vet något om vektorer och element.

Byt ut elementen mot kuvert bara. Grejen är att jag är rätt säker på att du har fel och tror att en simulering skulle peka åtminstone i rätt riktning. Men innan jag skriver vill jag ju veta så att jag inte har missförstått dig.

[Waggho]

Enligt dig skulle alltså ett byte till ett annat element som alltså antingen kan vara elementet framför eller bakom i vektorn (du har ingen aning om vilket) vara +EV?

Alltså, om siffran 8 har slumpats fram kan man ju bara få en lägre siffra om man byter och därför vill man då inte byta. EV:t i att byta ligger ju i att jag kan låta bli att byta när jag vet att det bara kan bli sämre. Programmet skulle i så fall alltså aldrig byta när det fick en åtta och alltid annars.

 

Och om du blandar i en nia i efterhand, dvs att man kan inte kan få en nia i den första "dragningen" men kan få det när man byter, då motsvaras ju det av att bill tar fram ett nytt kuvert som inte fanns där från början.

[Dollarturist]

Enligt dig skulle alltså ett byte till ett annat element som alltså antingen kan vara elementet framför eller bakom i vektorn (du har ingen aning om vilket) vara +EV?

Alltså, om siffran 8 har slumpats fram kan man ju bara få en lägre siffra om man byter och därför vill man då inte byta. EV:t i att byta ligger ju i att jag kan låta bli att byta när jag vet att det bara kan bli sämre. Programmet skulle i så fall alltså aldrig byta när det fick en åtta och alltid annars.

 

Och om du blandar i en nia i efterhand, dvs att man kan inte kan få en nia i den första "dragningen" men kan få det när man byter, då motsvaras ju det av att bill tar fram ett nytt kuvert som inte fanns där från början.

Precis! Det är så jag hade tänkt också. Man byter inte om man plockar något av det minsta eller högsta beloppet. Jag har slängt ihop lite kod och hittills ser det ut som om du har rätt.

 

EDIT: Man byter såklart alltid om man plockar det minsta beloppet men aldrig om man plockar det största. Det är ju solklart att det ger +EV då. Fan vad dum jag känner mig.

[Waggho]

Man byter inte om man plockar något av det minsta eller högsta beloppet. Jag har slängt ihop lite kod och hittills ser det ut som om du har rätt.

Låter bra!

[Dollarturist]

Man byter inte om man plockar något av det minsta eller högsta beloppet. Jag har slängt ihop lite kod och hittills ser det ut som om du har rätt.

Låter bra!

Ja på sätt och vis var det ju väntat. Jag fintade nog bort mig själv lite.

[SaInT]

Var menat att ha med en 32x också, det ska alltså inte finnas ett max, precis som jag sa tidigare. Då kan det inte spela någon roll om du ser vad det är.

 

Om du inte förstår att det måste finnas ett max så är det nog ingen mening att jag försöker förklara igen. Ta med en 32x också, jaha, då kan det alltså ligga en 32x i den ena av dina händer? Då kommer jag byta så länge jag inte hittar en 32x, och om jag hittar den så kommer jag inte att byta (så länge det inte finns en 64x).

 

Men eftersom du bara skulle "bläddra" mellan 2x-8x och sedan ta en med hälften eller dubbelt så mycket så kommer det aldrig att kunna ligga en 32x i din hand och jag kommer fortfarande att inte byta så länge det är 16x och byta så länge det inte är det.

 

Nu misstolkar du hela problemet igen och tror att man hoppar in i kedjan någonstans och kan sedan byta upp sig hur många gånger som helst, från 2^0 till 2^x (x>>0). Du har TVÅ kuvert att välja mellan, med två bestämda summor. Du kommer aldrig att nå något max. De enda summorna du kan få är y och 0.5y/2y.

[RodgeOne]

Känns som att det kunde räckt med första sidan, resten är väl bara en massa dravel där man har ändrat på villkoren för problemet.

 

 

sista posten på första sidan:

 

Nånting sånt här ska det egentligen se ut:

 

Jamie Gold uppenbarar sig och har i händerna två kuvert. Han har stoppat delar av sin jättevinst i båda kuverten och berättar för dig att det ena kuvertet innehåller dubbelt så mycket pengar som det andra. Du får välja ett och väljer det ena. Nu ler Jamie sitt hemlighetsfulla leende och frågar om du är säker på att du inte vill byta innan du öppnar ditt kuvert. Du funderar på saken. Antingen är det hälften så mycket i det andra kuvertet, eller dubbelt så mycket. Är det dubbelt så mycket vinner du mer än du förlorar om det är hälften så mycket! Du bestämmer dig för att byta kuvert. Återigen ler Jamie sitt hemlighetsfulla leende och frågar illmarigt om du är säker på att du inte vill byta kuvert? Du funderar på saken och kommer fram till att det antingen är dubbelt så mycket eller hälften så mycket i det andra kuvertet, och i snitt kommer du gå plus. Du bestämmer dig för att byta kuvert och står då med det kuvert du höll i handen först.

 

Vill du fortsätta byta eller har du tänkt fel någonstans?

Och här igen på sista sidan, varför kan vi inte nöja oss med det?

 

Nu misstolkar du hela problemet igen och tror att man hoppar in i kedjan någonstans och kan sedan byta upp sig hur många gånger som helst, från 2^0 till 2^x (x>>0). Du har TVÅ kuvert att välja mellan, med två bestämda summor. Du kommer aldrig att nå något max. De enda summorna du kan få är y och 0.5y/2y.

[Statistikern]

Jag har hängt här rätt länge som låg-limit-mört, men den här tråden höll mig sömnlös, så nu måste jag också få göra ett försök!

 

Det kanske låter kaxigt (f'låt), men jag är rätt säker på var problemet ligger.

 

Vi antar att ett av kuverten innehåller dubbelt så mycket som det andra, och att vi öppnat ett av dem, som visar sig innehålla 20 kr. Ska vi nu byta kuvert? Enligt den beräkning som många utför, är det EV+ att byta, men detta är fel!

 

Den enkla förklaringen: Det ligger inte en slumpvariabel i det andra kuvertet!

Det andra kuvertet innehåller 10 eller 40 kr. Detta är sant. Problemet ligger i att det är fel att påstå att det är 50% chans för båda alternativen. Detta är en ogiltig operation!

 

Ett annat scenario: Anta att du redan fått ett kuvert med 20 kr. Jag kommer in med två andra kuvert. Ett innehåller 40 kr, det andra bara 10. Vill du byta ditt kuvert med 20 kr mot ett av mina? Du får välja kuvert själv. Naturligtvis ska du byta! Detta är i längden ett vinnande spel för dig! Här stämmer de EV-beräkningar som visar på en vinst med att byta. Vad är då skillnaden mellan detta spel, och spelet i ursprungsfrågan? Jo, i spelet med tre kuvert finns båda alternativen 10 och 40 kr med känd sannolikhet. När du tar ett av mina kuvert, vet du att sannolikheten är 0,5 för både 10 och 40 kr.

 

I det ursprungliga spelet finns det inte två alternativ. Antingen finns det ena, eller så finns det andra, men du kan aldrig väga in båda samtidigt! Kärnan i problemet är denna: Du kan inte ansätta en sannolikhet större än 0, åt ett utfall som inte finns!

 

Ett annat exempel gör det tydligare: Anta att du har ditt kuvert med 20 kr. Jag kommer fram och erbjuder dig en slantsingling i utbyte mot dina 20 kr; Blir det krona får du 40 kr, blir det klave får du bara 10. Ännu ett bra spel för dig! Men, notera nu skillnaden, om jag istället hade kommit in med ett mynt fixerat i en stängd väska, och sagt: -I väskan har jag lagt ett mynt. Om du ger mig ditt kuvert med 20 kr, får du titta på myntet i väskan. Är det krona, så får du 40 kr, men är det klave får du bara 10. Ser ni skillnaden? I spelet med slantsinglingen har båda alternativen sannolikhet 0,5, men i det senare spelet har det ena alternativet sannolikhet 1, och det andra 0. Att du inte vet vilket, innebär inte att sannolikheten är lika mellan alternativen, för det finns ingen slumpmässighet inblandad.

 

I det okända kuvertet ligger inte en slumpvariabel, utan en konstant. Så fort man blandar in en sannolikhetsfunktion för innehållet i det andra kuvertet gör man fel.

 

Hoppas detta blev begripligt. Dags att sova nu. ZZZZ

[Waggho]

Nu misstolkar du hela problemet igen och tror att man hoppar in i kedjan någonstans och kan sedan byta upp sig hur många gånger som helst, från 2^0 till 2^x (x>>0). Du har TVÅ kuvert att välja mellan, med två bestämda summor. Du kommer aldrig att nå något max. De enda summorna du kan få är y och 0.5y/2y.

 

Det känns som att vi pratar om två olika saker. Om vi håller oss till exemplet där Bills kompis har stoppat i summor i kuvertpar upp till 2 miljoner, och man sedan slumpar ett kuvertpar - håller du med eller håller du inte med om att man har +EV på att byta så länge följande villkor är uppfyllda:

 

1. Du vet att den största summan som lades i ett kuvert var 2M kr.

2. Du vet summan i ditt kuvert

3. Summan i kuvertet är inte 2M kr.

[Waggho]

Bra post, statistikern.

[SaInT]

Nu misstolkar du hela problemet igen och tror att man hoppar in i kedjan någonstans och kan sedan byta upp sig hur många gånger som helst, från 2^0 till 2^x (x>>0). Du har TVÅ kuvert att välja mellan, med två bestämda summor. Du kommer aldrig att nå något max. De enda summorna du kan få är y och 0.5y/2y.

 

Det känns som att vi pratar om två olika saker. Om vi håller oss till exemplet där Bills kompis har stoppat i summor i kuvertpar upp till 2 miljoner, och man sedan slumpar ett kuvertpar - håller du med eller håller du inte med om att man har +EV på att byta så länge följande villkor är uppfyllda:

 

1. Du vet att den största summan som lades i ett kuvert var 2M kr.

2. Du vet summan i ditt kuvert

3. Summan i kuvertet är inte 2M kr.

 

Jag tolkar inte Bill-exemplet som att man hoppar in i kedjan. Jag tror inte det är EV+ att byta. Förlust och vinst kommer ha samma värde.

[Waggho]

Jag tror inte det är EV+ att byta. Förlust och vinst kommer ha samma värde.

Då kommer ju följdfrågan, med samma förutsättningar förutom att det kuvert du öppnar faktiskt innehåller två miljoner: är det inte EV- att byta då?

 

Om du håller med om att det är garanterat EV- att byta bort tvåmiljonaren när du vet att det inte finns någon större summa, var finns då det EV+ som väger upp minuset om inte i att byta alltid annars?

[SaInT]

Jag tror inte det är EV+ att byta. Förlust och vinst kommer ha samma värde.

Då kommer ju följdfrågan, med samma förutsättningar förutom att det kuvert du öppnar faktiskt innehåller två miljoner: är det inte EV- att byta då?

 

Om du håller med om att det är garanterat EV- att byta bort tvåmiljonaren när du vet att det inte finns någon större summa, var finns då det EV+ som väger upp minuset om inte i att byta alltid annars?

 

Möjligt att jag läste igenom hans post lite dåligt. Finns det ett max så "voidar" jag hela frågan, eftersom den är fel från början. Lite osäker på hur många gånger jag nämnt det här med att ha med ett max, är det fem gånger nu?

[Waggho]

Möjligt att jag läste igenom hans post lite dåligt. Finns det ett max så "voidar" jag hela frågan, eftersom den är fel från början. Lite osäker på hur många gånger jag nämnt det här med att ha med ett max, är det fem gånger nu?

Ja, det finns ett max i exemplet, eftersom den största summan som läggs i ett kuvert är två miljoner.

 

Att du får nämna det där med max så många gånger är för att det måste finnas ett max. Hur ska det inte kunna finnas ett max?

[SaInT]

Att du får nämna det där med max så många gånger är för att det måste finnas ett max. Hur ska det inte kunna finnas ett max?

 

Nu får du ge dig. Det finns inte något max. Har aldrig funnits (förutom i felaktigt formulerade problem). När du gör bytet finns möjligheten att det ligger den dubbla summan i det andra kuvertet. Igen. När du gör bytet finns möjligheten att det ligger den dubbla summan i det andra kuvertet. Saxxar problemet från Wikipedia.

 

Let's say you are given two indistinguishable envelopes, each of which contains a positive sum of money. One envelope contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep whatever amount it contains. You pick one envelope at random but before you open it you're offered the possibility to take the other envelope instead.

 

För övrigt så lär ett byte alltid vara EV- om man har med ett max (vilket man iofs inte har, men för sakens skull).

[Nidson]

Att du får nämna det där med max så många gånger är för att det måste finnas ett max. Hur ska det inte kunna finnas ett max?

 

Nu får du ge dig. Det finns inte något max. Har aldrig funnits (förutom i felaktigt formulerade problem). När du gör bytet finns möjligheten att det ligger den dubbla summan i det andra kuvertet. Igen. När du gör bytet finns möjligheten att det ligger den dubbla summan i det andra kuvertet. Saxxar problemet från Wikipedia.

 

Let's say you are given two indistinguishable envelopes, each of which contains a positive sum of money. One envelope contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep whatever amount it contains. You pick one envelope at random but before you open it you're offered the possibility to take the other envelope instead.

 

För övrigt så lär ett byte alltid vara EV- om man har med ett max (vilket man iofs inte har, men för sakens skull).

 

Du inser väl att om det inte finns något max så måste sannolikheterna för de olika kuvertparssummorna vara avtagande med ökad utbetalning för att vi inte ska få oändligt EV?

[Waggho]

Nu får du ge dig. Det finns inte något max. Har aldrig funnits (förutom i felaktigt formulerade problem).

Det där med ett max är ju mer ett sätt att ställa upp det för att kunna greppa det enklare. Alla summor i ett visst intervall är lika sannolika och över det intervallet är samtliga sannolikheter noll. Så behöver det inte vara, men det är en ganska rimlig situation och det var den vi diskuterade iom. att GreenCap ställde upp sitt exempel med två miljoner som mest i ett kuvert. För övrigt kan jag inte se hur ditt eget exempel med 16x osv. inte skulle vara analogt med det.

 

Istället för ett absolut maxbelopp med ett abrupt "sannolikhetshopp" ner till noll kan det ju vara en långsamt minskande sannolikhetsutveckling ju högre upp man kommer. Men du kommer ju alltid att kunna ta en summa och konstatera att sannolikheten för att den finns i ett kuvert är i princip noll. Annars får du som Nidson säger oändligt EV.

 

För övrigt så lär ett byte alltid vara EV- om man har med ett max (vilket man iofs inte har, men för sakens skull).

Det där får du nog utveckla.

[SaInT]

För övrigt kan jag inte se hur ditt eget exempel med 16x osv. inte skulle vara analogt med det.

Du kunde inte välja kuvertet med högst belopp i, just därför att det skulle vara ett "byteskuvert". Alltså kan du aldrig veta att du har det högsta i handen.

 

Annars får du som Nidson säger oändligt EV.

Det får man absolut inte. Läs problemet igen.

 

För övrigt så lär ett byte alltid vara EV- om man har med ett max (vilket man iofs inte har, men för sakens skull).

Det där får du nog utveckla.

Visst. Eftersom bytet från absolut minimum ger ett mycket mindre positivt värde än bytet från max ger negativt värde så blir det EV- att göra ett byte.