Statistikern

Jag har funderat på det här hela dagen nu, och jag tror att det bästa sättet att frörklara paradoxen är att helt enkelt granska hur man ställer upp en formel för att beräkna ett EV. Vi tänker oss att vi håller i ett kuvert som vi öppnat, och det innehåller 20 kr. Vi har fått information om att ett av kuverten innehåller dubbelt så mycket pengar som det andra. Vi vet därmed att det andra kuveret måste innehålla 40 eller 10 kr. Hur beräknar vi nu EV:t för ett byte? Ett EV är per definition summan av (alla utfall i utfallsrummet, multiplicerade med sina respektive sannolikheter). Anta nu först, att vi erbjuds att byta våra 20 kr mot en slantsingling, där krona ger 40, och klave ger 10 kr. Kan vi här beräkna ett EV för att byta bort våra 20 kr och singla slant? Svaret är ja, eftersom vi känner alla utfall och alla tillhörande sannolikheter. Sannolikheterna summerar till 1, varför vi vet att vi fyllt hela utfallsrummet. Om vi väljer att singla slant, är vårt EV därför = 0,5 * 40 + 0,5 * 10 = 25 kr. 25 > de 20 vi håller i, varför slantsinglingen är ett bra vad för oss. Om vi nu går tillbaks till ursprungsproblemet, och vill beräkna EV för ett kuvertbyte, stöter vi på problem. Vilka är utfallen? Vi vet att det måste vara 10 eller 40 kr, men ett av dessa värden är inget utfall. För att formeln för EV ska ge ett korrekt resultat, måste vi stoppa in alla möjliga värden i utfallsrummet, men 40 och 10 hör inte båda dit. Det enda vi vet är att ett av dem är rätt, men stoppar vi in båda i formeln, så räknar vi inte längre på ett EV för kuvertbyte. En EV-beräkning av denna sort kräver kunskap om alla möjliga utfall. Det andra kuvertet har inte två möjliga utfall, utan ett. Däremot finns det bara två kandidater till detta utfall, men du kan inte stoppa in två värden med lika sannolikhet i en EV-beräkning, när du vet att ett av dem inte tillhör utfallsrummet. Hoppas någon har synpunkter på detta. Kul tråd BTW!

Jag har hängt här rätt länge som låg-limit-mört, men den här tråden höll mig sömnlös, så nu måste jag också få göra ett försök! Det kanske låter kaxigt (f'låt), men jag är rätt säker på var problemet ligger. Vi antar att ett av kuverten innehåller dubbelt så mycket som det andra, och att vi öppnat ett av dem, som visar sig innehålla 20 kr. Ska vi nu byta kuvert? Enligt den beräkning som många utför, är det EV+ att byta, men detta är fel! Den enkla förklaringen: Det ligger inte en slumpvariabel i det andra kuvertet! Det andra kuvertet innehåller 10 eller 40 kr. Detta är sant. Problemet ligger i att det är fel att påstå att det är 50% chans för båda alternativen. Detta är en ogiltig operation! Ett annat scenario: Anta att du redan fått ett kuvert med 20 kr. Jag kommer in med två andra kuvert. Ett innehåller 40 kr, det andra bara 10. Vill du byta ditt kuvert med 20 kr mot ett av mina? Du får välja kuvert själv. Naturligtvis ska du byta! Detta är i längden ett vinnande spel för dig! Här stämmer de EV-beräkningar som visar på en vinst med att byta. Vad är då skillnaden mellan detta spel, och spelet i ursprungsfrågan? Jo, i spelet med tre kuvert finns båda alternativen 10 och 40 kr med känd sannolikhet. När du tar ett av mina kuvert, vet du att sannolikheten är 0,5 för både 10 och 40 kr. I det ursprungliga spelet finns det inte två alternativ. Antingen finns det ena, eller så finns det andra, men du kan aldrig väga in båda samtidigt! Kärnan i problemet är denna: Du kan inte ansätta en sannolikhet större än 0, åt ett utfall som inte finns! Ett annat exempel gör det tydligare: Anta att du har ditt kuvert med 20 kr. Jag kommer fram och erbjuder dig en slantsingling i utbyte mot dina 20 kr; Blir det krona får du 40 kr, blir det klave får du bara 10. Ännu ett bra spel för dig! Men, notera nu skillnaden, om jag istället hade kommit in med ett mynt fixerat i en stängd väska, och sagt: -I väskan har jag lagt ett mynt. Om du ger mig ditt kuvert med 20 kr, får du titta på myntet i väskan. Är det krona, så får du 40 kr, men är det klave får du bara 10. Ser ni skillnaden? I spelet med slantsinglingen har båda alternativen sannolikhet 0,5, men i det senare spelet har det ena alternativet sannolikhet 1, och det andra 0. Att du inte vet vilket, innebär inte att sannolikheten är lika mellan alternativen, för det finns ingen slumpmässighet inblandad. I det okända kuvertet ligger inte en slumpvariabel, utan en konstant. Så fort man blandar in en sannolikhetsfunktion för innehållet i det andra kuvertet gör man fel. Hoppas detta blev begripligt. Dags att sova nu. ZZZZ