Ska jag byta kuvert?

[Waggho]

GreenCap,

uppenbarligen har du inte läst ordentligt vad jag har skrivit.

Läs om, läs rätt,

 

/Trött, full och lite förbannad

[SaInT]

Jamie Gold uppenbarar sig och har i händerna två kuvert. Han har stoppat delar av sin jättevinst i båda kuverten och berättar för dig att det ena kuvertet innehåller dubbelt så mycket pengar som det andra. Du får välja ett och väljer det ena. Nu ler Jamie sitt hemlighetsfulla leende och frågar om du är säker på att du inte vill byta innan du öppnar ditt kuvert. Du funderar på saken. Antingen är det hälften så mycket i det andra kuvertet, eller dubbelt så mycket. Är det dubbelt så mycket vinner du mer än du förlorar om det är hälften så mycket! Du bestämmer dig för att byta kuvert. Återigen ler Jamie sitt hemlighetsfulla leende och frågar illmarigt om du är säker på att du inte vill byta kuvert? Du funderar på saken och kommer fram till att det antingen är dubbelt så mycket eller hälften så mycket i det andra kuvertet, och i snitt kommer du gå plus. Du bestämmer dig för att byta kuvert och står då med det kuvert du höll i handen först.

 

Vill du fortsätta byta eller har du tänkt fel någonstans?

 

Och för att svara på det korrekt formulerade problemet:

 

Den citerade fetstilda texten är fel.

Kuvert a innehåller x. Kuvert b innehåller 2x. 50% av gångerna börjar vi med 2x och 50% börjar vi med 1x. Vi har alltså 1.5x som värde när vi startar. När vi byter kommer vi hälften av gångerna förlora 1x och hälften av gångerna vinna 1x. Vi kommer inte att gå plus i snitt. Det finns inte antingen hälften så mycket eller dubbelt så mycket i det andra kuvertet. Nichts!

 

I den ursprungliga frågeställningen (OP) är dock den citerade fetstilda texten sann. Om vi har y från början får vi antingen 0.5y eller 2y efter bytet.

 

Vi har då efter ett byte följande utfall:

dubbel = 2y

hälften = 0.5y

Vi snittar här 1.25y istället för 1y.

 

Det Waggho skrivit ger istället

a>b = 2x

b>a = 1x

Vi snittar här 1.5x, precis som vi började med. Vi påverkar inte på något sätt genom byten.

[hazeelnut]

Antag att problemet är detsamma fast summorna i kuverten istället bestäms av 3^x resp 3^(x+1) där x är antal ggr ett mynt flippas innan det kommer upp krona (om det blir krona på första flippen så är x=0, krona på andra så är x=1 osv). Där har ni en äkta paradox och inget sabla pseudoskit.

[GreenCap]

Den citerade fetstilda texten är fel.

Kuvert a innehåller x. Kuvert b innehåller 2x. 50% av gångerna börjar vi med 2x och 50% börjar vi med 1x. Vi har alltså 1.5x som värde när vi startar. När vi byter kommer vi hälften av gångerna förlora 1x och hälften av gångerna vinna 1x. Vi kommer inte att gå plus i snitt. Det finns inte antingen hälften så mycket eller dubbelt så mycket i det andra kuvertet. Nichts!

 

Kan du utveckla detta, för jag har tappat tråden (tänker på din sista mening). Tanken är att jämföra "det andra" kuvertet EFTER du redan har valt ett. Och då är det antingen dubbelt eller hälften. Du syftar på att det inte är dubbelt/hälften FÖRE man har tagit ett kuvert va? Är det så du menar så fattar jag. Min tanke var dock att jämföra efter man har tagit ett kuvert.

 

Tycker dock att jag kan tolka ditt inlägg som att det inte spelar någon roll om man byter eller ej och det är ju rätt. Annars får du gärna posta igen.

 

Men är det ingen av er som vill byta som har lust att förklara om ni även anser att båda personer ska byta om de tar varsitt kuvert samtidigt. För om den person som tar kuvert B först, byter till A för att tjäna pengar så kan väl personen som tog A från början behålla det för samma förtjänst. Och han har ju inte bytt något. Är det ingen av er som kan utveckla detta.

[Dollarturist]

I den ursprungliga frågeställningen (OP) är dock den citerade fetstilda texten sann. Om vi har y från början får vi antingen 0.5y eller 2y efter bytet.

 

Vi har då efter ett byte följande utfall:

dubbel = 2y

hälften = 0.5y

Vi snittar här 1.25y istället för 1y.

Du menar alltså att som OP är formulerad så skulle ett byte ge +EV?

[majorj]

 

Men är det ingen av er som vill byta som har lust att förklara om ni även anser att båda personer ska byta om de tar varsitt kuvert samtidigt. För om den person som tar kuvert B först, byter till A för att tjäna pengar så kan väl personen som tog A från början behålla det för samma förtjänst. Och han har ju inte bytt något. Är det ingen av er som kan utveckla detta.

 

Varför blandar du in flera personer? Du skojar, va?

[Dollarturist]

 

Men är det ingen av er som vill byta som har lust att förklara om ni även anser att båda personer ska byta om de tar varsitt kuvert samtidigt. För om den person som tar kuvert B först, byter till A för att tjäna pengar så kan väl personen som tog A från början behålla det för samma förtjänst. Och han har ju inte bytt något. Är det ingen av er som kan utveckla detta.

 

Varför blandar du in flera personer?

Den ursprungliga paradoxen innefattar två personer. Jag gissar bara men jag antar att OP tycker det är lättare att visa att det omöjligen kan generera ett positivt väntevärde om man använder två personer istället för en. Båda kan ju på exakt samma sätt resonera sig fram till att de har positivt väntevärde på att byta.

[majorj]

Som någon redan har påpekat finns ju problematiken och den ganska självklara förklaringen pedagogiskt beskriven här:

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

[Waggho]

Du menar alltså att som OP är formulerad så skulle ett byte ge +EV?

Ja, det skulle det.

Men är det ingen av er som vill byta som har lust att förklara om ni även anser att båda personer ska byta om de tar varsitt kuvert samtidigt. För om den person som tar kuvert B först, byter till A för att tjäna pengar så kan väl personen som tog A från början behålla det för samma förtjänst. Och han har ju inte bytt något. Är det ingen av er som kan utveckla detta.

Nu utgår vi alltså från problemet som du ställde upp det från början, dvs man har valt ett kuvert och sett att det ligger 2000 kronor i det, och kuvertutdelaren sen säger att det antingen ligger dubbelt så mycket eller hälften så mycket i det andra kuvertet.

 

Jag antar att de båda personerna som får varsitt kuvert inte vet hur mycket det ligger i den andres kuvert utan bara hur mycket det ligger i det egna. Säg att du har fått 2000 i ditt kuvert och jag har fått 1000. Kuvertutdelaren frågar nu om vi vill byta. Om han säger till dig att det är 50 % chans för dig att dubbla dina pengar så ljuger han, eftersom det inte finns något kuvert med 4000 i. För att du ska ha chans att dubbla måste det såklart finnas ett sådant kuvert någonstans. Att det ligger dubbelt så mycket i det ena som i det andra är inte samma sak som att man har 50 % chans att dubbla om man byter.

 

Låt oss säga att kuvertutdelaren har åtta andra kuvert, med bland annat 4000 kronor i. Då är det +ev för båda att byta, men då byter vi ju inte med varandra.

[GreenCap]

Tack dollaturist. Det är EXAKT så jag tänker. Det är lättare att visa så. För det är ju EXAKT samma sak. Det finns INGEN skillnad. Jaja, personantalet är ju skillnad, men VÄRDET ändras inte.

 

För om du tar kuvert 1 och byter så anser en del att man går plus EV på det. Detta skulle ju då gälla oavsett vilket kuvert man tar. (Eller anser någon att det bara är det ena kuvertet som man bör byta bort???) Och om man går plus på att byta oavsett vilket kuvert man tar så betyder ju det att man går plus oavsett vilket kuvert man får. Och om vilket kuvert man får/har i slutändan inte spelar någon roll, varför byta? Jag tyckte att man tydligt kunde illustrera det med två personer eftersom båda kuvert blir tagna då av personer som har betett sig på exakt det sätt som förordas av många här.

 

Helt allvarligt...

 

Nu menar jag absolut inte att kasta skit på någon/några och om någon känner sig kränkt så ber jag innerligt om ursäkt men jag är chockad över att folk tydligen har problem med att se att det inte spelar någon roll om man byter eller ej. HÄR! På ett pokerforum, där logiken förhoppningsvis befinner sig något över snittet med tanke på våran hobby/yrke.

 

Snälla.. Backa ett steg från all pokermatte och tänk lite vidare. Skulle det på minsta sätt ha någon som helst betydelse om man går fram till personen och ändrar sig. Allvarligt??? Vad hade hänt tror ni om ni hade tagit det kuvertet från början??

 

Hur kan en normalt funtad människa tro att om jag vill ha kuvert nummer två, så tjänar jag MER på att först ta kuvert ett, lämna tillbaka det och sedan ta kuvert nummer två, än om jag bara hade tagit kuvert nummer två rakt av? Jag står ju i slutändan med kuvert nummer två likförbannat och ingen har flyttat på pengarna däri. Hur kan någon tro att vad du gör innan spelar roll?

 

Jag vände mig till detta forum för att få hjälp med matten eftersom jag inte får ihop den. Den verkar ju (som vi väl är överens om allihop) säga att man ska byta, så därför är ju matten fel. Det är något man inte har tänkt på, men vad?? Det är det jag undrar och så kommer det svar som säger att man ska byta. Jag har full förståelse för att man spontant kan tänka så men att det försvaras sedan kan jag inte begripa. Nu har ju en del svarat på olika versioner av problemet så bara för att man inte har tyckt som mig i tråden menar jag inte att ni har fel, men allvarlig, Ni som vill byta (OT), jag hoppas ni driver med mig.

 

Med risk för att bli bannad från forumet nu men jag har bara varit ärlig och återigen, blir någon kränkt ber jag tusen gånger om ursäkt.

[majorj]

Du har missförstått själva ursprungsparadoxen.

[Dollarturist]

Som någon redan har påpekat finns ju problematiken och den ganska självklara förklaringen pedagogiskt beskriven här:

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

Jo jag kan också läsa innantill. Frågan är om man verkligen tycker att det är en självklar förklaring. Tycker mer det är en matematisk teknikalitet det hela fallerar på. Och att det är en ball paradox tror jag alla som har förstått problemet och tänkt igenom det kan skriva under på.

 

Once we have looked in the envelope, we have new information—namely the value A. The subjective probability changes when we get new information, so our assessment of the probability that A is the smaller and larger sum changes. Therefore step 2 above isn't always true and is thus the proposed cause of this paradox.

 

Step 2 can be justified, however, if we can find a prior distribution such that every pair of possible amounts {X, 2X} are equally likely, where X = 2nA, n = 0, ±1, ±2,.... But as this set contains infinitely many elements we can't make a uniform probability distribution over all values in this set. So some values of A must be more likely than others. However, we don't know which values are more likely than others, that is, if we don't happen to know the prior distribution.

Såvitt jag kunnat läsa mig till går det ut på att sannolikheten för att det är ett större belopp i det andra kuvertet går mot 0 när beloppen går mot oändligheten? Men jag är ingalunda någon matematiker.

[Dollarturist]

EDIT: Raderar flumpost...

[GreenCap]

Du har missförstått själva ursprungsparadoxen.

 

Hade säkert varit intressant om vi hade diskuterat ursprungsparadoxen. Kan vi inte låta denna tråd handla om OP istället.

 

Har för övrigt aldrig läst om detta förrän någon lade ut en länk om den här (håller på att läsa nu)

[majorj]

Du har missförstått själva ursprungsparadoxen.

 

Hade säkert varit intressant om vi hade diskuterat ursprungsparadoxen. Kan vi inte låta denna tråd handla om OP istället.

 

Har för övrigt aldrig läst om detta förrän någon lade ut en länk om den här (håller på att läsa nu)

 

Sry. Vad jag menade var att du har missförstått den paradox du själv formulerade i fösta posten.

[GreenCap]

Åhh... nu är jag snurrig

[GreenCap]

Det verkar som om att alla pratar om olika grejer här.

 

För att få lite klarhet i det hela och för att förstå vad folk syftar till när de svarar undrar jag om ni kan svara på dessa saker. Det kanske inte är relevant för det ni anser att vi diskuterar men det skulle hjälpa mig förstå bättre vad folk syftar på.

 

1. Spelar det någon roll om man får titta i kuvertet först eller ej? Påverkar det om man ska byta? Varför? (med betoning på att det ju iaf ligger samma summa i kuvertet före som efter kiken och vi vet ju inget om något maxtak. ALLA summor är lika möjliga. strunt i alla realistiska problem att folk inte har hur mycket pengar som helst)

 

2. Kan två personer göra det här samtidigt? Lägg inte till fler kuvert. De pratar inte med varandra och de blev tillsagda innan de tog kuverten att de fick byta med varandra om de ville så att han inte ljuger för dem, det finns ju inte 50% nu längre för personen med det stora kuvertet, Detta beror ju lite på hur man tänker sig %. Om man tar bor nollan i roulette har man ju 50% chans att vinna på rött. Har man även 50% när kulan har landat om man inte har tittat på hur det gick? Kan man ärligt säga "jag vet inte hur det gick, det är 50/50"? Skit samma, det är inte poängen utan var en förklaring varför de blev tillsagda innan de valde så ingen hakar upp sig på att det ev. inte är 50% längre.

 

3. Samma som jag har skrivit tidigare:

 

Du och jag (just det... du) och en kompis till dig träffar Bill och han erbjuder oss detta problem. Han låter oss tre vara med och spela och han säger följande:

 

"En av er får "spela" först, byta eller inte byta, ta pengarna och gå. Sedan kommer jag lägga nya pengar i kuvertet och sedan får den andre av er "spela". JAG KOMMER ALLTID ATT LÄGGA SAMMA SUMMA PENGAR I SAMMA KUVERT. Om de andra av er väljer samma kuvert som den första så garanterar jag att det kommer vara samma summa. Jag "blandar" alltså inte kuverten."

 

Du, som har läst om den här leken på pokerforum/poker.se inser snabbt att det är plus EV att byta så du berättar det för mig. Jag som är lite trög tycker att det verkar vara trams att byta så jag kommer inte att göra det. Du berättar att du kommer välja kuvert nummer två, MEN SEDAN BYTA till kuvert nummer ETT. Och så gör du också. Din kompis (som inte är lika skärpt som dig) tycker att det verkar lite märkligt att man skulle tjäna på att byta, men han gör det ändå i smyg. Han litar ju på dig. Så han TÄNKER först på kuvert nummer ett, men ändrar sig och SÄGER kuvert nummer TVÅ. Jag som tycker allt verkar fjomsigt går fram till Bill och säger (utan att tänka på något särskillt): Lassa hit kuvert nummer ETT, och fort ska det gå.

 

Så nu gäller:

 

Du har efter byte tagit kuvert nummer ETT

Kompisen har efter (tyst) byte tagit kuvert nummer TVÅ

Jag har tagit kuvert nummer ETT (utan att tänka)

 

När vi gjort det säger Bill att han har så mycket pengar så vi får göra om det här 100 gånger.

 

Vem kommer i slutet ha mest pengar?

Jag anser det helt absurt att tänka sig att det kommer skilja något (i snitt)

 

 

 

Hur ser ni på dessa tre saker?

[GreenCap]

Kan förtydliga att jag är särskillt intresserad av punkten 3 ovan. Om någon anser att man kan säga att "du" har ett bättre värde än "jag" i den frågan för att du har bytt kuvert så lägg kraften på att förklara det är du snäll.

[Loveless]

Svårt att förklara, men det är ju en känsla jag har. Vad händer om du om du inte tittar i det första kuvertet innan du byter?

 

Vad händer om personen inte hinner släppa det första kuvertet när han ska ge det till mig innan jag byter?

 

Vad händer om jag inte tar i det utan bara pekar på det kuvert jag vill ha, men sedan ändrar mig?

 

Vad händer om jag inte säger, utan bara tänker på vilket kuvert jag vill ha, byter mentalt och sedan säger det andra kuvertet?

 

Det spelar väl ingen roll hur du tar dig till ditt val. Du har ett kuvert som du får information om, vilket är det viktiga här. Informationen du får är att det andra kuvertet har ett förväntat värde på 5/4 av "ditt" kuvert.

 

Om vi döper kuverten till 1 respektive 2 och så tar vi två personer som vi döper till Adam respektive Bertil.

 

De erbjuds den här möjligheten 100 gånger (det är vid samma tillfälle de gör detta, Adam tar det ena och Bertil tar det andra).

 

Adam tar alltid kuvert 1 och Bertil tar alltid kuvert två. Båda har följt resonemanget i första posten så båda byter. Kommer båda få de där 500:- extra då? Rimligtvis inte eftersom pengar inte materialiseras ur tomma intet. Men man skulle ju tjäna på att byta och det har ju båda gjort! Men de pengar Bertil fick efter bytet skulle ju Adam fått om de inte bytte och tvärtom så då skulle ju bytet inte ha bidragit till någonting till slut iaf.

 

Märker du att resonemanget verkar helt galet? Det tycker iaf jag så därför anser jag att det inte borde fylla någon som helst funktion att byta kuvert. Men ändå har man ju faktiskt 50% chans att vinna 2000:- och 50% chans att förlora 1000:- så man borde ju tjäna på att byta. Ett tusen ner och tvåtusen upp gör ju ett tusen upp totalt. Men när ska man byta? Man kan ju f**n inte tjäna något på att bara tänka på ett kuvert och sedan ändra sig och säga att man vill ha det "andra" kuvertet. Så måste man titta i kuvertet först eller räcker det om man bara tar i det?

 

Eller räcker det om man tänker på det?

 

Fan vad galen jag är... kommer inte kunna sova!

 

Tror inte du kan förändra förutsättningarna på detta sätt. Min och min kompis beslut är ju inte oberoende av varandra eftersom det är samma rymd vi rör oss inom. Informationen vi får här är inte att det andra kuvertet har ett värde på 10/8X, utan att kuverten tillsammans har ett värde av 18/8X, dvs att var och ett har ett värde på 9/8X. Man tjänar alltså fortfarande på att byta, men bara hälften av originalproblemet.

[Waggho]

Personen säger att det även ligger pengar i det andra kuvertet, antingen dubbelt så mycket pengar eller bara hälften så mycket. 4000:- eller 1000:- med andra ord.

Det är ju det här som gör det rätt att byta i din originalpost. Om du öppnar kuvertet och hittar 2000, och sen säger Jamie Gold att han singlar slant om att han ska lägga antingen 1000 kr eller 4000 kr i ett annat kuvert och sen erbjuder dig att byta, så är det klart att du ska byta.

 

Din originalpost är otydlig och du får bestämma dig för att antingen diskutera det riktiga problemet som det har formulerats av andra eller att diskutera din variant som kan tolkas antingen som det riktiga problemet eller som mitt exempel ovan.

[GreenCap]

Informationen vi får här är inte att det andra kuvertet har ett värde på 10/8X, utan att kuverten tillsammans har ett värde av 18/8X, dvs att var och ett har ett värde på 9/8X. Man tjänar alltså fortfarande på att byta, men bara hälften av originalproblemet.

 

Förstår inte riktigt. Menar du att båda tjänar på att byta?

[Loveless]

Ja.

[Waggho]

1. Spelar det någon roll om man får titta i kuvertet först eller ej?

Nej, inte i sig. Men om vi efter att ha tittat i kuvertet får informationen att summan inte är maxgränsen så vet vi att vi tjänar på att byta.

 

2. Kan två personer göra det här samtidigt? Lägg inte till fler kuvert.

Nej, eftersom den ena garanterat kommer få maxbeloppet. För att det ska vara bra att byta måste man veta att man inte sitter på maxbeloppet (se ovan) och nån av dem måste göra det.

[GreenCap]

http://arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0608/0608172.pdf Denna tyckte jag var bra.

 

GreenCap skrev:

2. Kan två personer göra det här samtidigt? Lägg inte till fler kuvert.

 

Nej, eftersom den ena garanterat kommer få maxbeloppet. För att det ska vara bra att byta måste man veta att man inte sitter på maxbeloppet (se ovan) och nån av dem måste göra det.

 

Kan du vara snäll att förklara det här mer. Gärna som om jag vore en treåring. Enkelt och metodiskt. Vem kommer gå plus av dem? För det spelar väl ingen roll om man slänger kuvertet som blev över eller om ger det till någon annan? Så går en plus om han är själv så bör han väl även gå plus om kuvertet slängs/används av en till "spelare"?

[jackbalsam]

Om ni funderar lite på att kuvertutdelaren ljuger om han säger att det är 50/50 om det är mer eller mindre pengar i det andra kuvertet så borde det klarna.

 

Han ljuger eftersom han vet att det är en viss summa i det andra kuvertet, det är inte 50/50 utan det är 100% att det är just den summan.

 

Om man däremot inte öppnar kuvertet och han säger att det är 50/50 på att det är hälften eller dubbelt med pengar i det andra kuvertet så är såklart problemet trivialt.