Bluffteori för en och två satsningsrundor

[Callahan]

Ett ganska vanligt scenario i poker fick mig att fundera på följade stiliserade spel.

 

Spelare A antar 150 kr och spelare B antar 50 kr. Spelare A drar sedan ett kort ur en fullständig lek. Sedan följer normal pokersatsning med no-limit. Om det blir visning vinner A om han har ett rött kort i hålet. Hur ska A spela i vart och ett av nedanstånde scenarier. Vem har fördel i respektive variant och hur stor är den?

 

1) En satsningsrunda, A och B har 200 kr var.

2) En satsningsrunda, A och B har 1000 kr var.

3) Två satsningsrundor, A och B har 200 kr var.

4) Två satsningsrundor, A och B har 1000 kr var.

 

Jag tror mig ha svaret på tre av dessa frågor.

[Hjort]

Är det A som agerar först?

[Callahan]

Är det A som agerar först?

 

Spelar ingen roll.

[brut]

B gör väl bäst i att checka om han skulle aggera först. Annars blir det ju i praktiken så att han antar extra. Räknar du ut det här med någon sorts formel eller prövar du dig fram?

[Bjorn_]

Blank...

[Bjorn_]

Skrev ett långt utlägg som tyvär blev uppfuckat.

 

Så här tror jag i alla fall.

 

1) A betar alla röda och ½ av alla svarta kort all-in, om B synar eller lägger sig då A betar är egalt, däremot skall B alltid checka om A checkar.

Värdet = 0kr

 

 

2) A betar alla röda och 5/6 av alla svarta kort all-in, om B synar eller lägger sig då A betar är egalt, däremot skall B alltid checka om A checkar.

Värdet = +33kr för A

 

3) Misstänker starkt att detta degenerar till samma som fall 1

 

4) Vore kul om någon har några idéer på hur man analyserar detta fall. Skulle dock inte bli förvånad om A inte kan åstadkomma bättre resultat än med samma strategi som i fall 2 men som sagt, hoppas någon kommer på ett sätt att räkna på det.

 

/Bjorn

[baller]

Spelar ingen roll.

 

Menar du att B's aktion är oberoende av vad A gör?

[Klyka]

Hur funkar det när det är två satsningsrundor? Först satsa o sen köra en runda till direkt eller?

[Bjorn_]

I fall 4 skulle man kunna tänka sig något i denna stil

(Räknar värdet som positivt för A)

 

 

 

Runda 1.

 

A) Betar B1 med en andel x1 av sina röda kort och y1 av sina svarta kort. Följdaktligen checkar A en andel (1-x1) av sina röda och (1- y1) av sina svarta.

 

B) Om A checkar så ställer B in med en frekvens q1 och checkar med en frekvens (1-q1), väljer B att checka får vi ett nytt spelfall fall 5. Betar B all-in så synar givetvis A med sina röda kort och foldar sina svarta varvid bidraget till värdet blir 0.5*(1-x1)*1050 - 0.5*(1-y1)*1150

 

Skulle A betta B1 så synar B med frekvensen p1, vilket leder till ett nytt spelfall som vi kallar fall 6, om B foldar så är bidraget till värdet (0.5*x1 + 0.5*y1) * (1-p1) * 50

 

Runda 2

 

Fall 5)

A har förhållandet (1-x1)/(1-y1) mellan röda och svarta kort, det ligger 200 i potten och båda spelarna har 1000 kvar i stacken.

 

Fall 6)

A har förhållandet x1/y1 mellan röda och svarta kort, det ligger 200 + 2*B1 i potten och båda spelarna har 1000-B1 i stacken.

 

 

Värdet på spelet i fall 5 respektive fall 6 kan givetvis räknas ut (som ett utryck av ingående variabler) även om det blir en del jobbig grismatte.

 

När man väl gjort det så är det bara att bestämma frekvenserna x1 och y1 så att det är egalt om B checkar när vi checkar och om B synar när vi betar.

 

Men så tråkig matte orkar jag inte så tidigt på dagen.

 

/Bjorn

[Callahan]

Bjorn_,

 

Dina svar på 1 och 2 ser bra ut.

 

Två påpekanden angående analysen av 3 och 4 som gör matten mindre grisig: För det första kan du slopa fallet att B betar eftersom det är en dominerad strategi. Å andra sidan har det nog ingen betydelse för svaret för jag tror inte A har något att vinna på att checka ett rött kort.

 

Det senare har jag inget strikt bevis för, men om A ska kunna vinna något på att det är två rundor måste han ju sätta press på B i båda satsningsrundorna. Om A checkar kommer B automatiskt att checka tillbaka och vi hamnar i fall 1 eller 2. Detta är för övrigt ett argument för att man inte vill gå all-in på runda 1 heller.

 

Förresten, svaret i fall 4 är slående enkelt när man har det.

[Callahan]

Hur funkar det när det är två satsningsrundor? Först satsa o sen köra en runda till direkt eller?

 

Japp. Det är jämförbart med situationen att man funderar på att syna ner på turn/river med en hand som bara slår en bluff och som har noll eller få outs, som skulle kunna vara fallet för tex KQ på bordet AAK7.

[heltok]

ser vissa likheter mellan detta och http://groups.google.ca/groups/search?hl=en&q=%22The+%5B0%2C1%5D+Game%22&qt_s=Search

[Plinga]

Optimal strategi brukar i spelteori betyda att det spelar ingen roll vad din motståndare gör, syn eller fold är likvärdiga. Utifrån det antagandet gäller det i fall 3 o 4 bara att optimera storleken på potten till andra satsningsrundan så att man får så högt EV som möjligt.

 

För B vid syn på andra gatan i 4:a gäller:

 

EV(B)=(pot+satsning)*vinstchans-satsning*(1-vinstchans)

 

200=<Pot<=2200

satsning=1000-(pot-200)/2

vinstchans= 1 - chans att A har rött - Optimal bluffrekvens för A

Optimal bluffrekvens för A = satsning * chans att A har rött / (pot +satsning)

chans att A har rött = 1/2

 

I 3:a gäller

200=<Pot<=600

satsning=200-(pot-200)/2

i övrigt samma

 

Blir en andragradsfunktion med Pot som variabel. Optimera/minimera efter denna och rättsvar kanske trillar ut.

[hazeelnut]

På D) har i alla fall A ett EV på hela potten. Han kan betta drygt 75% av sina händer på river och kan då betta 100% av sina händer på floppen.

 

På C) kan han betta runt 63% av händerna på rivern och därmed runt 80% av händerna på floppen så här har A ett EV på 10 kr.

 

Räknade lite fel först.

[Plinga]

Jag missa att ta hänsyn till anten och hur ofta man ska betta 1:a gatan. Oavsett borde jag min metod kunna beräkna optimal potstorlek, vilket iaf kanske är ett steg i rätt riktning..

Hmm..nu har det blivit dimmigt som i Lutzen.

"chans att A har rött" är ju en funktion av hur ofta denna bettar floppen...så det måste åtminstånde vara en funktion av två variabler

[Bjorn_]

Två påpekanden angående analysen av 3 och 4 som gör matten mindre grisig: För det första kan du slopa fallet att B betar eftersom det är en dominerad strategi. Å andra sidan har det nog ingen betydelse för svaret för jag tror inte A har något att vinna på att checka ett rött kort.

 

Är inte helt övertygad om att detta är sant men är tills vidare beredd att köpa det för att slippa onödig grismatte.

 

Genom att alldrig checka ett rött kort missar man ju en hel del bluffequity på sina svarat kort runda två. Dvs om A enbart checkar med svarta kort runda 1 så blir han ju strikt taget tvungen att alltid checka igen på runda 2 vilket intuitivt känns fel.

 

I fall 6 blir i alla fall pottoddsen på en syn för B

 

1000-B1 mot 200 +2*B1+1000-B1 dvs 1200+B1

 

Altså skall man bluffa med (1000-B1)/(1200+B1)*0.5 andel svarta kort.

 

Efterssom det rent definitionsmässigt är egalt om B synar eller foldar kan vi ju räkna på att han foldar efterssom det är enklare. Värdet på spelet i runda 2 blir då

 

0.5*(B1+50) + (1000-B1)/(1200+B1)*0.5*(B1+50) - (1 - (1000-B1)/(1200+B1))*0.5*(B1+150)

 

Nästa steg blir att räkna på spelet i runda 1. Vi vill ju där optimera så att det blir lika stor förlust för B att folda som att spela spelet i fall 6.

 

Urk mera grismatte... orkar inte...

 

/Bjorn

[Plinga]

Altså skall man bluffa med (1000-B1)/(1200+B1)*0.5 andel svarta kort.

Givet att man inte bettar alla svarta kort på 1:a gatan kommer du inte förhållandet var 1:1 mellan svarta och röda kort och koeffecienten kommer då inte vara 0.5.

[Bjorn_]

Altså skall man bluffa med (1000-B1)/(1200+B1)*0.5 andel svarta kort.

Givet att man inte bettar alla svarta kort på 1:a gatan kommer du inte förhållandet var 1:1 mellan svarta och röda kort och koeffecienten kommer då inte vara 0.5.

 

Altså 0.5 står för mängden RÖDA kort, du skall bluffa med (1000-B1)/(1200+B1) ggr så många svarta kort som detta för att det ska bli egalt för B att syna eller folda.

 

Däremot förutsätts att du har tillräckligt många svarta kort kvar för att uppnå denna kvot men det misstänker jag inte är något problem i praktiken efterssom du rimligtvis skall bluffa med majoriteten av svarta kort på runda 1.

 

/Bjorn

[Plinga]

Altså 0.5 står för mängden RÖDA kort, du skall bluffa med (1000-B1)/(1200+B1) ggr så många svarta kort som detta för att det ska bli egalt för B att syna eller folda.

 

Däremot förutsätts att du har tillräckligt många svarta kort kvar för att uppnå denna kvot men det misstänker jag inte är något problem i praktiken efterssom du rimligtvis skall bluffa med majoriteten av svarta kort på runda 1.

 

/Bjorn

Sä länge vad du menar överrenstämmer med:

Optimal bluffrekvens för A = satsning * chans att A har rött / (pot +satsning) så är vi överens. Satsar A inte med alla händer på första gatan kommer inte "chans att A har rött" vara 0,5 på andra gatan (givet att A satsat på 1:a). Ex. A satsar 1/2 av sina svarta kort och alla sina röda på första gatan koeffecienten ska då vara 2/3. Kan vara att vi pratar runt varandra eller jag inte förstår hur du menar men men...koefficienten borde uttrycka ett förhållande och inte en mängd.

 

Hade varit roligt om Callahan kunde upplysa oss nyfikna själar snart..

[Plinga]

Efter lite betänketid tror jag mig ha svar på fyran..

 

EV för A är 50:-

 

A better 300 varje första gata och resterande 700 kronor 73,3% på andra gatan.

 

EV för B:

Fold: Första gatan: -50kr

 

Ingen fold(syn-syn eller syn-check):

-0,5*1050+0,233*1200+0,267*450 ~ -125 kr

 

Syn-fold eller syn-check:

-0,733 * 350 + 0,267 * 450 ~ -137 kr

 

Om A alltid gör så här är bästa alternativ för B är alltså att lägga sig på första gatan med ett värde av -50 kr per gång. Hur A än höjer kan han aldrig få högre förväntat värde än anten, givet att B spelar optimalt.

Kan nog ha blivit ngt fel på beräkningen av "ingen fold" och "syn-check" då de borde ha samma värde.

 

Kolla lite med 3:an också...

I en graf jag gjorde upp med variablerna "bet på 1:a gatan" och "bet belopp på 1:a gatan" verkar det som A:s optimala spel är att betta ~24,3 kr på alla första gator och resten ~70,7% av gångerna på 2:a gatan. Förväntade värdet för A blir då ~1,47kr per spel. Vad allt detta nu kan ha för betydelse i det stora hela..

[Bjorn_]

Om A alltid gör så här är bästa alternativ för B är alltså att lägga sig på första gatan med ett värde av -50 kr per gång. Hur A än höjer kan han aldrig få högre förväntat värde än anten, givet att B spelar optimalt.

 

Måste erkänna att jag inte tänkt på att maximala värdet för A maximeras av Bs ante men så är det ju självklart. Smart tänkt.

 

En intressant observation med klar pokerparallel är följande.

 

För spelet som givet i 1000 stacks exemplet med

1) Dela ut kortet

2) Satsningsrunda

3) Satsningsrunda

Är värdet +50kr för A

 

Gör man om spelet till

1) Satsningsrunda

2) Dela ut kortet

3) Satsningsrunda

Är värdet +50kr för B

 

Vad som är optimalt spel i mitt reviderade exempel och vad det motsvarar i poker överlåter jag till den givetvis intresserade läsaren att fundera på.

 

/Bjorn

[Callahan]

Som Plinga konstaterat (och hazeelnut innan dess faktiskt) vinner A i fall 4 varje gång. A kan beta pott (eller något annat liknande belopp) med alla kort och B kan inte syna trots att han har 50% equity. Om B skulle syna i alla fall kommer A att bluffa optimalt på andra rundan och då inser man att B i princip bara vinner om A inte betar igen, vilket sker betydligt mindre än 1/3 av gångerna. Eftersom det kostar 1/3 av pott för B att spela på första rundan så måste han lägga varje gång. B's enorma nackdel beror dels på att A har fullständig information i handen, dels på omvänt implicita odds (som tillkommer i den extra satsningsrundan).

 

Frågan om två satsningsrundor kommer från mina funderingar kring FL-problemet att syna ner korrekt på turn och river när motståndaren representerar en hand som man sällan eller inte kan dra ut. Detta liknar fall 3 fast med fixa bet på 100 kr för varje runda. I den situationen ska A bluffa 3/5 av gångerna på turn och fortsätta beta med 1/3 av sina bluffhänder på river. Då blir B "egal" på båda gator och kan lika gärna lägga sig så att värdet blir 200 kr * 8/10 = 160 kr, 10 kr mer än vad han får i fall 1. Även detta värde har hazeelnut varit inne på. Hade varit intressant att se vilken matte som ligger bakom. För att inte spela exploaterbart ska B syna turn 2/3 av gångerna och river 4/5 av gångerna. Detta kan man komma fram till på olika sätt. Jag fick först fram det med hjälp av "linjär programmering", med det får bli ett ämne för en annan tråd.

 

Det intressanta är att uppdelningen på två satsningsrundor gör att A kan vinna 10 kr mer än om han måste ställa in allt på en gång. I ett spel där man har ett val (NL/PL) verkar det således inte rätt att ställa på runda 1. Det naturliga frågan är då vilket belopp A ska använda på runda 1 för att optimera sin vinst. Det var hit jag hade kommit när jag skapade denna tråd.

 

Genom att experimentera med olika belopp kom jag fram till att A hade ca +10,70 kr genom att beta drygt 70 kr på runda 1, så det finns inte mycket att tjäna på att spela exakt rätt. Icke desto mindre tyckte jag det var av akademiskt intresse att få fram ett matematiskt exakt värde, så i brist på bättre metoder började jag jobba med samma "grismatte" som Bjorn_ och Plinga varit inne på.

 

Låt p vara sannoliketen att A bluffar runda 1 och b vara betbeloppet. Potten sätter vi till 1. Då ska A (som Bjorn_ räknat på) bluffa andra gatan med sannolikhet

 

P1 = (1 - b) / (2p + b).

 

Eftersom A bluffar optimalt har B inget bättre spel än att lägga på andra gatan varje gång A betar, så i princip vinner B bara potten på runda 1 om A är på bluffen och sedan inte bluffar runda 2, vilket har sannolikhet

 

P2 = p / (p + 1) * (1 - P1).

 

Värdet för B (hans "effektiva equity") efter syn blir då

 

V = pottstorlek * P2 = (1 + 2b) * p / (p + 1) * (1 - (1 - b) / (2p + b)).

 

Om A ska bluffa optimalt ska värdet vara samma som det kostar att syna, dvs V = b. Nu kan man lösa ut p (här tog matteprogrammet Maple över grovjobbet).

 

p = -(-1 - 3b + b^2) / (2 + 3b + b^2)

 

dvs nu har vi bluffrekvensen som funktion av betbeloppet, och bluffrekvensen är ett direkt mått på A's fördel (A vinner ju när han har rött och de gånger han bluffar optimalt med svart). För att hitta max deriverar vi och löser p' = 0 och då spottar Maple ur sig en falsk lösning samt:

 

b = (sqrt(3) - 1) / 2 ~= 0,366

 

A ska alltså beta 36,6% av sina marker, dvs ca 73 kr. Går man tillbaka och sätter in detta så får man fram att han ska beta runda 1 med p = 11 - 6 * sqrt(3) ~= 0,608. Detta ger A ett värde på ca 160,77 kr.

 

Förmodligen har jag gjort detta mer komplicerat än nödvändigt. Eventuellt finns det fel också. YMMV.

[Bjorn_]

Tycker ärligt talat att sådana här spelteoretiska "dra kort" analogier är så där klockrena i hold'em efterssom man faktiskt ser korten och det nästan alltid är så att sannolikheten för att ett kort faktiskt ska ha hjälpt fi är rätt så olika beroende på vilket kort det är.

 

I sjukortstöt har man ju däremot en väldigt lik situation när man har ett tvåpar mot vad som verkar vara en fyrfärg/fyrstege på sjätte gatan. Här får man ju ingen som helst hjälp med att lista ut hurivida han förbättrade eller inte utan blir tvungen att spela blint.

 

/Bjorn

[fredyr]

Spelare A antar 150 kr och spelare B antar 50 kr.

 

1) En satsningsrunda, A och B har 200 kr var.

2) En satsningsrunda, A och B har 1000 kr var.

 

Jag kanske missupfattat strukturen? Menas att A och B har 200kr var, efter det att dom antat? Eller innan dom antat, vvs A har 50kr kvar att beta, dvs B kan alltid komma till showdown för 100kr?

 

Och det menas att dom verkligen antar? Alltså att dom inte lever så som blinds gör?

[Callahan]

Spelare A antar 150 kr och spelare B antar 50 kr.

 

1) En satsningsrunda, A och B har 200 kr var.

2) En satsningsrunda, A och B har 1000 kr var.

 

Jag kanske missupfattat strukturen? Menas att A och B har 200kr var, efter det att dom antat? Eller innan dom antat, vvs A har 50kr kvar att beta, dvs B kan alltid komma till showdown för 100kr?

 

Och det menas att dom verkligen antar? Alltså att dom inte lever så som blinds gör?

 

Det här är en väldigt gammal tråd men...

 

A och B har 200 kr var kvar att beta. Det spelar egentligen ingen roll vem som har lagt in vad från början; det bara ligger 200 kr i mitten när spelet börjar. Anledningen att jag satte en högre ante på A är att han uppenbarligen har en stor fördel i spelet som följer.