En get eller en Mercedes?

[ayecappy]

Jag tycker det roligaste med det här problemet är att det ägnats 7 SIDOR KOMMENTARER åt att diskutera monte hall hahah :D, gdailys kommentar att pokerspelare har lättare att lösa detta än allmänheten har säkert legitimitet men vafan, isåfall består detta forumet inte av pokerspelare utan av folk som hoppat över högstadiet och nu försöker hitta nåt enkelt sätt att tjäna pengar ;)

[Gyre]

Pokerspelare har en större chans att lösa den här uppgiften än "allmänheten"

Seriöst? monte hall finns ju föfan med i matteboken i sjunde klass i grundskolan, räcker ju du har läst inledningen om puttekulor i skålar och om gröna o röda äpplen så kan du läsa problemet.

 

Min lärare i matte diskret kände inte till problemet och vägrade inse att det var en fördel att byta dörr, iofs vetifan om han skulle klara av årskust 7's mattebok för han är verkligen totalt inkompetent.

[Dollarturist]

Det är många som inte vill köpa lösningen på "Monty Hall"-problemet. När Marilyn vos Savant publicerade svaret i nån blaska i början på nittiotalet blev hon överöst med massa svar av typen "you are the goat". Det konstiga är att flera av de som svarade var matematiker. När "Ny Teknik" för bara några år sedan publicerade samma problem så fick även de en massa upprörda mail från läsare som inte tyckte att det stämde. Den genomsnittlige läsaren av Ny Teknik är förmodligen någotsånär matematiskt utbildad så visst är det konstigt.

 

EDIT: Det jag finner konstigt är alltså att utbildade matematiker inte kan lösa ett så pass trivialt problem. Visserligen gav de som hade klagat med sig efterhand men det är ändå ganska otroligt att det tog sån tid innan poletten trillade ner.

[gdaily]

Det är många som inte vill köpa lösningen på "Monty Hall"-problemet. När Marilyn vos Savant publicerade svaret i nån blaska i början på nittiotalet blev hon överöst med massa svar av typen "you are the goat". Det konstiga är att flera av de som svarade var matematiker. När "Ny Teknik" för bara några år sedan publicerade samma problem så fick även de en massa upprörda mail från läsare som inte tyckte att det stämde. Den genomsnittlige läsaren av Ny Teknik är förmodligen någotsånär matematiskt utbildad så visst är det konstigt.

 

EDIT: Det jag finner konstigt är alltså att utbildade matematiker inte kan lösa ett så pass trivialt problem. Visserligen gav de som hade klagat med sig efterhand men det är ändå ganska otroligt att det tog sån tid innan poletten trillade ner.

 

Det roligaste av allt är att problemet är så otroligt lätt att själv testa - du och en polare och tre kort ur en kortlek (två röda och enn svart till exempel). Efter ett par hundra försök (behövs bara runt 50 för att vara "säker" så borde alla "50-50"-förspråkare börja tvivla på sig själva. Experimentet tar alltså mindre tid att utföra än det tar att skriva en genomsnittlig insändare till en tidning

 

/Ola

[Von oben]

Valium-Raol:Jag har fått kortproblemet berättat för mig.Det är i grund och botten en kuggfråga.Fattar det inte riktigt själv-men svaret på varför motståndaren synar en hand som denna är bad beat jackpot.

[Kajjan]

om man har en skål där det är 50% chans att de ligger en hjärna å 50% chans att de ligger en njure i, borde de då inte bli så att om man lägger ner en hjärna å tar upp en hjärna så borde det fortfarande vara 50-50 för vilket man plockar upp ur skålen???

[sevenfeet]

Jag har varit inblandad i en liknande diskussion på ett annat forum, jag gav upp med att förklara hur jag tänkte, ska nu försöka igen...

 

Kan börja med att meddela att jag mer och mer börjar köpa det här med att man ska byta dörr men det har gått trögt. Fastnar i tänket (som någon nyss beskrivit i tråden) att man efter att en dörr tagits bort står inför ett nytt val mellan två dörrar där en innehåller bil och en dörr en get. Dvs att man står inför ett nytt val mellan bara två dörrar, där byta är ett val och att stå kvar är det andra, => 50% vinstchans. Jag resonerar som vid slantsingling, roulette osv, dvs att slumpen inte har något minne. Förklara gärna varför detta inte är rätt tänk i det här fallet.

 

Pojke/flicka-problemet. Någon kommenterade det med att fråga hur stor chansen var att det blir rött på rouletten ifall det blivit rött 10 ggr i rad... Är det verkligen en relevant kommentar i det här fallet?? Frågan är ju hur stor chansen är att personen i fråga har fått två pojkar. Ska vi göra samma parallell till roulette bör det bli: Hur stor är chansen att det blir rött elva gånger i rad? (eller alla ggr av ett givet antal) ... och den är ju ganska långt ifrån 50%... (iaf så länge det givna antalet är >1)

 

Ville bara kommentera roulette-parallellen här, chansen att båda är pojkar är ju som sagt 1/3, givet att minst en är pojke.

 

 

Hjärna/njure-problemet. Ska man bortse ifrån att den galne mannen borde ha dubbelt så många njurar som hjärnor hemma?? Förutsatt att han skaffat dem genom att döda och skära i folk själv och inte köpt organen...

 

Hmm... har gjort ett litet improviserat praktiskt test på dörr-problemet. Utfall:

 

Byta gav bil i 10/12 fall.

Stå kvar gav bil i 5/12 fall.

 

Jag är nu rätt så övertygad... men ger det 50% eller 67% vinstchans att byta?

 

/7ft.

[Trolldeg]

Jag är nu rätt så övertygad... men ger det 50% eller 67% vinstchans att byta?

 

/7ft.

 

 

67%. Chansen att du väljer rätt dörr på första valet är ju 1/3, chansen att den är i någon av dom andra två är 2/3.

[dlinder]

Vad gäller kulorna i lådorna så tycker jag svaret lättast fås genom att tänka att i 2 av 3 lådor kommer nästa kula vara av samma färg. Då syns svaret tydligare än om man börjar förutsätta färg på den plockade kulan.

[Valium]

dlinder, precis. Det var det jag menade med att de som inte har läst någon matte kan använda sunt förnuft för att lösa problemet medan de som har läst matte utan att förstå den snurrar in sig i hur dom tror att problemet ska lösas.

 

Poängen i slutändan är att det är få problem som kan lösas så enkelt med sunt förnuft, varpå en matematisk förståelse är mer eller mindre nödvändig.

[Kajjan]

vet inte om någon redan kommit med denna förklaringen på dörrproblemet så om någon gjort det, Ursäkta jag orkade inte läsa hela tråden.

 

Det absolut enklaste sättet att tänka enligt mig är att väljer man en get i första valet så är det 100% säkert att man väljer bilen i det andra valet om man byter. Å det är ju 66% chans att man väljer en get i första valet alltså är det 66% chans att man får bilen om man byter dörr i andra valet.

 

//kajjan

[boonkiat]

Byta

[nucleus]

Här kommer ett till problem. Inte riktigt av samma natur som de andra eftersom det inte är sannolikhet men de har något gemensamt och det är att lite tankeverksamet krävs.

 

(säkert ett par som känner igen detta)

 

Du står utanför ett rum som du inte kan se in i. På väggen utanför finns tre strömbrytare som är kopplade till tre lampor inne i rummet. Varje strömbytare tänder exakt en lampa (för att vara övertydlig). Din uppgift är att lösa vilken strömbytare som går till vilken lampa och för att göra detta får du gå in i rummet en gång. Hur löser du uppgiften?

[ReBs]

Jag skulle nog låta två lampor vara tända ett tag och släcka den ena precis innan man går in...på så sätt kan man känna vilken av dom släckta lamporna som fortfarande är varm.

[nucleus]

And we have a winner!!

 

...kanske var för lätt

[mr.asdf]

ANGÅENDE DÖRR PROBLEMET

 

asså, vi säger att vi väljer dörr 1, å så kommer programledaren å väljer dörr2, å där i var en get , å just nu ere ju 2/3 att man valt rätt, så bara för att man byter dörr blire ju inte större chans å få bilen ...?

 

kan inte nån skriva svaret snart

[Svinto]

asså, vi säger att vi väljer dörr 1, å så kommer programledaren å väljer dörr2, å där i var en get , å just nu ere ju 2/3 att man valt rätt, så bara för att man byter dörr blire ju inte större chans å få bilen ...?

Nej, det är 1/3 att du har valt rätt från början. Sannolikheten är alltså 2/3 att bilen är bakom någon av de andra två dörrarna. Programledaren öppnar en av dörrarna, och där står en get. Sannolikheten är fortfarande 2/3 att bilen finns bakom en av de dörrar som du inte valt, men nu vet du vilken det står en get bakom. Alltså finns bilen bakom dörren du inte valt från början 2 gånger av 3.

[optlagony]

Marilyn von Savant, smart tjej...

 

 

Your experiments should reveal that the probabilities of winning are around 67% if you switch and 33% if you don't. These numbers seem to back up Marilyn von Savant's claim, not those of the better-mathematically-educated who wrote saying she was wrong!

How this issue be resolved mathematically?

 

First of all, the following facts are critical to a correct understanding of the problem, and need to be stated more explicitly:

 

 

The host is not malicious. He doesn't just offer a chance to switch when the contestant's original guess is correct. Rather, he always offers the chance. (With a malicious host, it would always be better to stick to your original guess, since the very fact the host gave you a chance to change your mind would mean that your guess was correct!)

 

The host knows where the car is. When he opens a door to reveal a goat, that wasn't an accident; he's never going to open the door that reveals the car!

 

When the host has a choice of doors to open, he chooses randomly.

The question and answer which originally appeared in Marilyn's column were not clear about these assumptions. Without these assumptions, her answer is wrong, and the people writing in to correct her were justified in doing so.

However, when the question is properly and clearly stated, with the above assumptions made, then Marilyn's answer is correct (although her reasoning was at fault, because she didn't make clear use of these assumptions).

 

Why is this answer correct?

 

One way to look at the problem is this. If you adopt the non-switching strategy, you will win whenever your original guess was correct (which has a 1/3 probability of happening), and lose otherwise. If you adopt the switching strategy, you will lose whenever your original guess was correct, but you will win whenever your original guess was wrong (which has a 2/3 probability of happening).

 

This is a good argument in favour of the 1/3, 2/3 theory, but it doesn't explain what's wrong with the 1/2, 1/2 theory. After all, it seems perfectly reasonable that, if a door is opened revealing a goat, there should now be a 50-50 chance to the car being behind one of the remaining two doors.

 

The key is this. That 1/2, 1/2 theory would be correct if the host opened a door completely at random, and it happened to reveal a goat. But (from item 2 above) we know that the host will never open the door revealing the car. So there is additional information revealed by the host's choice of which door to open, besides the obvious information that that door revealed a goat.

 

Suppose you choose door 1 and the host opens door 2 (meaning the car is either behind door 1 or door 3). Although it's true that the basic probabilities of the car being behind door 1 or door 3 are equal, that's not the relevant issue here. Instead, we are after the conditional probabilities that car is behind door 1 or door 3, given that the host opened door 2.

 

What this means is: think of playing the game many, many times. Obviously, on average the car will be behind door 1 1/3 of these times, behind door 2 1/3 of these times, and behind door 3 1/3 of these times. So, out of all the times you play the game, the proportion that have the car behind door 1 is equal to the proportion that have the car behind door 3.

 

But the question for us is: if we restrict our attention only to those cases in which you chose door 1 and the host opened door 2, what proportion of those games have the car behind door 1, and what proportion have the car behind door 3? The answers are now no longer equal.

 

First let's think intuitively. On average, for every 6 times you play the game and choose door 1, there will be 2 times when the car is behind door 1 (in which case the host might open either door 2 or door 3, so that means 1 time out of the 6 the host will open door 2, and 1 time out of the 6 the host will open door 3). Also, on average, there will be 2 times when the car is behind door 2 (in which case the host must open door 3), and there will be 2 times when the car is behind door 3 (in which case the host must open door 2).

 

So on average, for every six times you play the game and choose door 1, there will be

 

one time when the car is behind door 1 and the host opens door 2

one time when the car is behind door 1 and the host opens door 3

two times when the car is behind door 2 and the host opens door 3

two times when the car is behind door 3 and the host opens door 2.

Out of all the three times when the host opens door 2, one of them has the car behind door 1 and two of them have the car behind door 3. So, out of all the times when you choose door 1 and the host opens door 2, on average 1/3 of those times have the car behind door 1 and 2/3 of those times have the car behind door 3. That's why switching gives you a 2/3 chance of winning.

 

The way this is formalized mathematically is as follows. Suppose door 1 is your choice. Let A be the event that the car is behind door 1, and B the event that the host opened door 2. What we want is the conditional probability of A, given B. This is the probability of (A and B) divided by the probability of B.

 

The probability of A is one third (the car has a 1/3 chance of being behind door 1). The probability of (A and B) is one-half the probability of A (since when the car is behind door 1 the host might open either door 2 or door 3, with equal probability). So the probability of (A and B) is 1/6.

 

The probability of B is one half; we'll leave the proof ot that to you as an exercise.

 

Therefore, the conditional probability of A given B is (1/6)/(1/2) = 1/3.

 

Similarly, if C is the event that the car is begind door 3, the probability of C is one third, and the probability of (C and B) is also one-third (since when the car is behind door 3 the host has no choice but to open door 2).

 

Therefore, the conditional probability of C given B is (1/3)/(1/2) = 2/3.

 

That's a mathematical justification of the fact that switching gives you a 2/3 chance of winning, while sticking with your original choice gives you only a 1/3 chance.

 

Notice what would be different if the host did not know where the car was and simply opened a door that just happened to reveal a goat. In that case, we're asking for the probability that the car is behind door 1 given that the host opened door 2 and given that the door the host opened revealed a goat. If you work out that probability, it turns out to be 1/2.

[TotalFarsa]

Helt övertygad om att ovanstående är en jättebra förklaring!!! Om jag hade orkat läsa den

 

/TF

[Juzam]

Det här problemet höll mig sömnlös för några år sedan...

 

Jag tänkte iaf så här: eftersom du 2 ggr av 3 redan valt en get, och lekledaren nu visar var en till get finns, borde man genom att byta få Mercedesen i samtliga dessa fall. Alltså de fall då man dragit en nit från början, 2 gånger av 3, mao.

[liggat]

lättare sätt att förstå problemet är om man tar 100 dörrar varav bakom 1 står en bmw och bakom dom andra en get.

 

du väljer 1/100

programledaren tar bort 98 getter

 

du har nu ditt förstahandsval eller den andra dörren att välja på.. vilken väljer du?

[mr.asdf]

Nej, det är 1/3 att du har valt rätt från början. Sannolikheten är alltså 2/3 att bilen är bakom någon av de andra två dörrarna. Programledaren öppnar en av dörrarna, och där står en get. Sannolikheten är fortfarande 2/3 att bilen finns bakom en av de dörrar som du inte valt, men nu vet du vilken det står en get bakom. Alltså finns bilen bakom dörren du inte valt från början 2 gånger av 3.

 

hur kan det bli det? geten står ju kvar i samma dörr ju som programledaren öppnade! så du har alltså 2/3 nu om du står kvar

 

elr är jag bara dum i huvvet

[mr.asdf]

lättare sätt att förstå problemet är om man tar 100 dörrar varav bakom 1 står en bmw och bakom dom andra en get.

 

du väljer 1/100

programledaren tar bort 98 getter

 

du har nu ditt förstahandsval eller den andra dörren att välja på.. vilken väljer du?

 

jag står kvar, bilen kan ju liktförbannat va i dörren du valde

[anth]

hur kan det bli det? geten står ju kvar i samma dörr ju som programledaren öppnade! så du har alltså 2/3 nu om du står kvar

 

elr är jag bara dum i huvvet

 

Vi gör om problemet.

 

Det finns tre dörrar, en dörr med en mercedes, två dörrar med getter.

 

Du väljer en dörr, hur stor är chansen att det är en mercedes bakom?

 

Jag får automatiskt de två dörrarna som du inte valt, hur stor chans är det att jag får mercedesen?

 

Vill du byta med mig?

 

Om tävlingsledaren öppnar en av mina dörrar och visar en get, har mina chanser ändrats att få mercedesen?

[Svinto]

hur kan det bli det? geten står ju kvar i samma dörr ju som programledaren öppnade! så du har alltså 2/3 nu om du står kvar

 

Från början ser det ut såhär:

 

Dörr A: 1/3 bil

Dörr B: 1/3 bil

Dörr C: 1/3 bil

 

Du börjar med att välja en dörr, vilken som helst. Då har du 1/3 att pricka rätt. Den sannolikheten ändras inte när programledaren öppnar en dörr. Om du inte byter dörr har du alltså 1/3 att vinna bilen.

 

Du väljer dörr A. Nu har du alltså med sannolikheten 1/3 valt rätt. Programledaren öppnar en av dörrarna med en get bakom, vilket råkar vara dörr B. Sannolikheten att bilen finns bakom någon av de tre dörrarna är 1. Sannolikheten att bilen finns bakom dörr A är fortfarande 1/3. Sannolikheten att bilen finns bakom dörr B är 0, där ser du ju att det står en get. Sannolikheten att bilen finns bakom den sista dörren, C, blir då 1 - 1/3 = 2/3. Alltså ska du välja dörr C:

 

Dörr A: 1/3 bil

Dörr B: get = 0 bil

Dörr C: 2/3 bil

 

Jag tror att det som är svårt att förstå är att sannolikheten att man valt rätt från början inte påverkas av att programledaren visar en av getterna. Kan man bara acceptera det är det lätt att förstå resten, tror jag.

elr är jag bara dum i huvvet

Jag skulle snarare tro att det är ett tecken på motsatsen när man ifrågasätter nåt man inte förstår.