Matteuppgift

[Daut]

,

[komlmogorov]

Hej!

 

Tror inte din förenkling i början är någon höjdare, om jag förstås rätt har du kvadrerat båda sidor av olikheten. Men du har fått för få termer i summan, tänk på att det är hel summa du kvadrerar. Det räcker inte med att kvadrera varje element i summan. Prova att göra så här:

 

Vi visar först att formeln:

 

(n (summa tecken) k=1) 1/sqrt(k) >=2*sqrt(n+1) - 2*sqrt(2) + 1

 

gäller för n=1, för att få en induktionbas:

 

1/sqrt(1)=1 >= 2*sqrt(1+1)-2*sqrt(2)+1 = 1 dvs 1 >= 1

 

Vilket förstås är sant. Nu antar vi att formeln gäller för n=p och visar att formeln då gäller för n=p+1, för att visa induktionssteget:

 

(p+1 (summa tecken) k=1) 1/sqrt(k) =

 

=(p (summa tecken) k=1) 1/sqrt(k) + 1/sqrt(p+1) >= (induktionsantagandet)

 

>=2*sqrt(p+1) - 2*sqrt(2) + 1 + 1/sqrt(p+1)

 

Vi behöver nu visa att detta är större eller lika med 2*sqrt(p+2)-2*sqrt(2)+1, för att formeln ska vara sann även för n=p+1. Dvs vi vill visa att:

 

2*sqrt(p+1)+1/sqrt(p+1) >= 2*sqrt(p+2)

 

Om man kvadrerar båda sidor erhålles:

 

4p + 8 + 1/(p+1) >= 4p + 8

 

Vilket även det är sant för alla postiva heltal p. Detta innebär att vi även visat induktionssteget. Det följer nu från induktionsprincipen att formeln är sann då n är ett godtyckligt positivt heltal. ( Kolla dock så jag inte skrev fel nånstans, är lite småtrött såhär på kvällskvisten ).

[Daut]

,

[kontsevich]

Tack för svaret komlomgorov. Jo det stämmer att jag har kvardrerat på båda sidorna, jag insåg dock inte att jag behövde göra det på hela summan. Din lösning verkar stämma men du har gjort några skriv fel på slutet tror jag.

Du har skrivt (p+2) där det ska stå (p+1) och vid kvadreringen på slutet så har du användt (p+2) på båda sidorna när det ska vara (p+1).

 

Tack än en gång för svaret

 

Komlmogorovs lösning är korrekt. Det står (p+2) på högersidan pga att du vill visa olikheten för n=p+1, dvs sqrt(n+1)=sqrt(p+1+1)=sqrt(p+2). Vid kvadreringen har han använt det uttrycket som står, anv (x+y)^2=x^2+y^2+2xy så ser du att det blir rätt.

 

Kan vara värt att nämna att man inte alltid kan visa att en olikhet f > g gäller genom att visa att f^2 > g^2 men det är ok om båda termer alltid är positiva vilket vi har här (jobbigt o påstå att -1 > 0 eftersom (-1)^2 > 0).

[Daut]

,

[kontsevich]

vad jag inte får i hop är hur 2*sqrt(p+1)+1/sqrt(p+1) >= 2*sqrt(p+2) blir

4p + 8 + 1/(p+1) >= 4p + 8. kvadrering på vänsterledet borde ju bli 4p + 4 + 1/(p+1) >= 4p + 8 vilket resulterar i att vänster ledet är mindre än höger ledet, vilket inte kan stämma, eller är jag ute o cycklar igen?

 

du glömmer 2xy termen i (x+y)^2=x^2+y^2+2xy. När du kvadrerar vänsterledet får du alltså;

 

(2*sqrt(p+1)+1/sqrt(p+1))^2=(2*sqrt(p+1))^2+(1/sqrt(p+1))^2+2*2*sqrt(p+1)*1/sqrt(p+1)= 4*(p+1)+1/(p+1)+4=4p+8+1/(1+p).