Tankar om turneringspoker

[Colderose]

Jag vill börja med att säga att jag uppskattade denna artikell väldig mycket. Matematiskt lagd som jag är kan jag dock inte låta bli att vilja generallisera vissa av dina tankar. Vad jag främst syftar på är exemplet:

 

 

 

Beräkningarna här bygger enbart på antagandet att sannolikheten att man ska vinna en turnering är direkt propotionellt mot ens andel av den totala markmängden. Låt oss lite högtravande kalla detta för Gdailys postulat. Det är tillämpbart i situationer där ens motståndare är helt okända eller helt likvärdiga en själv. Jag skulle dock tro att man kan använda postulatet som approximation i många fler fall. Det enda som krävs för att utvidga detta exempel till en fullvärdig matematisk modell över turneringsspel (lite överdrivet, men mer om det senare) är att inte bara postulera sannolikheten för att vinna, utan istället sannolikhetsfördelningen för ens placering i turneringen.

 

Låt oss börja med att definera de parametrar som kommer att ha betydelse:

 

N= summan av alla marker.

Xk=antal marker spelare k innehar.

t=antal kvarvarande spelare.

F(k)= pris man får för placering k.

Pk(n)=sannolikhenten att spelare k kommer på plats n.

sum_{n=0}^3 a_n: betecknar vanlig summation, i det här fallet = a_0+a_1+a_2+a_3.

tEV(k)(tournament Expectation Value, d.v.s förväntad vinnst i turneringen för spelare k) = sum_{n=1}^t F(n)*Pk(n)

 

Med denna notering kan Gdailys postulat omformuleras som:

 

Pk(1)=Xk/N.

 

En naturlig generallisering blir då:

 

Pk(2)= sum_{j=1, j skillt från k}^t (Xj/N)*(Xk/(N-Xj)).

Pk(3)= sum_{i,j=1, i skillt från j skillt från k skillt från i}^t (Xi*Xj)/(N*(N-Xi))*(Xk/(N-Xi-Xj)) (uttrycken blir rätt grötiga, och bör skrivas upp på papper för mer överskådlighet)

 

Man kan nu fortsätta och definiera Pk(4) o.s.v. tills man har uttrycket för det godtyckliga fallet Pk(n). Uttrycken för sannolikhetsfördelningen är inte bara grötiga utan även algebraiskt oöverskådliga. Det skulle därför vara väldigt bra om man kunde hitta förenklade uttryck. Då jag inte har haft tid med det (kanske kan göra det vid ett senare tillfälle), tänkte jag istället demonstrera det hela med ett relativt enkelt exempel.

 

Antag att vi spelar en SnG med 10 spelare, top 3 får betalt (50$, 30$, respektive 20$ ). Markerna är fördelade så att:

spelare 1 har 10 000 $

spelare 2-9 har 1000 $

spelare 10 har 3000 $

 

Nu antar vi att vi har samma situation som i det inledande exemplet, d.v.s. vi sitter på ett par i tvåor och en annan spelare har gått all-in med A Ko. Parametervärderna är som följer:

 

N=21000$.

F(1)=50$, F(2)=30$, F(3)=20$, F(k>3)=0.

t=10.

 

Situtationen vi studerar är när en av småstackarna går all-in och vi sitter på storstacken. Totalpotten är 1150$ (SB och BB som också är småstackar har lagt sig), och vi har ca 52% chans att vinna. Vid vinnst kommer vår tEV att vara: 50*P1(1)+30*P1(2)+20*P1(3). Där:

 

P1(1)= 11150/21000 = 0.53

P1(2)= (11150/21000)*sum_{j=2}^9 Xj/(N-Xj) = 0.53*(0.05*5+0.045+0.047+0.1666)=0.27

P1(3)= (11150/21000^2)*2*sum_{i,j=2, i < j}^9 Xi*Xj/(N-Xi-Xj)= 0.000025*2*(44.6+47.1*5+157.9+49.9*5+167.2+52.6*4+176.5+52.6*3+

176.5+52.6*2+176.5+52.6+176.5+176.5)=0.113.

 

Vilket medför att tEV = 36.86$. Vid förlust har vi:

 

P1(1)=9000/21000=0.43

P1(2)= 9000/21000*sum_{j=2}^10 Xj/(N-Xj) = 0.43*(0.05*5+0.045+0.047+0.114+0.1666)=0.27

P1(3)=(9000/21000^2)*2*sum_{i,j=2, i < j}^10 Xi*Xj/(N-Xi-Xj)=0.00002*2*( 120.1+113.4+5*126.8+428.6+44.6+5*49.9+167.2+5*47.1+157.9+

4*52.6+176.5+3*52.6+176.5+2*52.6+176.5+52.6+2*176.5)=0.14

 

Vilket medför att tEV=32.4$. Om vi istället skulle ha lagt oss skulle vi ha:

 

P1(1)=10000/21000=0.48

P1(2)= 10000/21000*sum_{j=2}^10 Xj/(N-Xj) = 0.48*(0.05*5+0.045+0.047+0.058+0.1666)=0.27

P1(3)=(9000/21000^2)*2*sum_{i,j=2, i < j}^10 Xi*Xj/(N-Xi-Xj)=0.000023*2*( 57.8+54.6+5*61+204.7+44.6+5*49.9+167.2+5*47.1+157.9+

4*52.6+176.5+3*52.6+176.5+2*52.6+176.5+52.6+2*176.5=0.13

 

Vilket medför att tEV=34.7$. Vårt förväntade +tEV blir alltså 0.52*2.16-0.48*2.3=+0.02$, och vi bör syna i detta fall.

 

Jag ser att det jag skrivit nu blivit lite rörigt (och kanske lite väl mycket), men vi kan försöka sammanfatta det hela. I vanliga cash games strävar man efter att hela tiden fatta +EV beslut, vilket är beslut som medför att man i genomsnitt alltid går plus. Detta är inte så lätt att göra i tuneringar, eftersom ens marker inte motsvarar riktiga pengar. Det är dock möjligt att översätta turneringspengarna till riktiga pengar genom att introducera begreppet tEV, som motsvarar den förväntade vinnsten av turneringen. Ens mål i turneringar blir då att alltid fatta +tEV beslut. Dessa beslut kommer till viss del att bero på oddsen för att vinna i förhållande till vinststorlek (vilket är enda faktorn i cash games), men även faktorer som stackstorlekar och prisfördelning kommer att vara i högsta grad väsentliga

 

* Lite ny rad - QoS *

 

 

räknefel korrigerat

 

Hmmm.... gäller alltså att vara hyfsat snabb i huvudräkning så att man tar rätt beslut, särskilt om man spelar en turbo-turnering på nätet.