Varians - Standardavvikelse

[Lobo]

Tänkte ta upp ett gammalt ämne som varians. Det finns lite redan på forumet, så det kommer säkert att dyka upp lite gammalt. Det skadar dock inte med en uppdatering. Varians är ganska enkelt att räkna på i Excel och det går också att koppla till diagram mm. Då blir det lättare att läsa av. 

Om jag satsar 60 kr på en 2-oddsare och den beräknade chansen är 50 %. Då kommer jag ha ett väntevärde på 0 kr. Variansen på detta spel blir då 3600. 
60 x 0,5 + (-60 x 0,5)= 0
((-60-0)^2 + (60-0)^2) / 2= 3600

Ligger där 10 lotter på ett bord och det är vinst på 1 lott, så är variansen 9. Singlar man slant så har den en varians på 1. Principen ovan med 60 kr är egentligen samma som slantsinglingen. Jag kan ju också singla om 60 kronor, och då får jag också samma varians givetvis som ovan. Så i förhållandet till vad man satsar så blir variansen densamma, oavsett vad du satsar. Om jag sätter 60 kronor/slantsingling på 2 slantsinglingar så blir variansen också 3600. Om vi istället ändrar till att vi sätter 80 resp. 40 kronor, det är då variansen ökar jämfört om vi spelar 60 kr på respektive spel trots att omsättningen är densamma. 
((-60-0)^2 + (60-0)^2 + (-60-0)^2 + (60-0)^2) / 4= 3600
((-80-0)^2 + (80-0)^2 + (-40-0)^2 + (40-0)^2) / 4= 4000

Standardavvikelsen som är roten ur variansen, och roten ur 3600 är 60. Så standardavvikelsen på detta spel är helt enkelt samma som insatsen 60 kronor. Man kan alltid använda sig av samma enhet när man använder sig av standardavvikelsen. Om jag satsar i kronor då blir alltså standardavvikelsen också i kronor. 
sqr3600= 60

Om vinstchansen höjs till 55 % på 2-oddsaren och vi behåller vår insats på 60 kr, så minskar faktiskt standardavvikelsen till 59,70 kronor trots att väntevärdet stiger till 6. Det är egentligen inte så konstigt om man tänker att man är all-in med en 80-20, så har den mindre varians en än 50-50. Det har också heller ingen betydelse om du är favorit eller underdog. Det är samma varians eftersom negativa väntevärde blir positiva när det räknas på varians. 
60 x 0,55 + (-60 x 0,45)= 6
sqr((0,45*(-60-6)^2) + (0,55*(60-6)^2))= 59,70
60 x 0,45 + (-60 x 0,55)= -6
sqr((0,55*(-60--6)^2) + (0,45*(60--6)^2))= 59,70

Om däremot ditt odds ökas till 2,50 men du fortfarande har 50 % vinstchans, då ökar också variansen och givetvis då även ditt väntevärde som då blir 15. Standardavvikelsen blir 75 
90 x 0,5 + (-60 x 0,5)= 15
sqr((0,50*(-60-15)^2) + (0,5*(90-15)^2))= 75

Om man räknas standardavvikelsen av två negativa tal som -115, -75 eller talen 75, 115 så har alltså bägge dessa samma standardavvikelse, dvs. 20.
(-115 - 75) / 2= -95
(115 + 75) / 2= 95
sqr(((115 - 95)^2 + (75 - 95)^2)/2)= 20
sqr(((-115 -- 95)^2 + (-75 - -95)^2)/2)= 20
 
Spelar du 5 SNG med följande resltat -$10, $30, $50, -$10, -$10, så kommer din standardavvikelse vara $25,30. Den täcker det vanligaste utfallet som var -$10, och också $30 om vi räknar från medelvärdet. Skulle man vinna eller förlora samtliga så är standardavvikelsen $0, dvs ingen varians alls på dessa 5 spel. Det som skiljer då är medelvärdet som blir -$10 och $50, om vi säger att det var förstapriset. 

Kör man i Excel gäller VARIANS.P och STDAV.P
Man kan räkna på mycket, men det svåra är kanske att veta vad man ska räkna på.
 

[Folke Rosvall]

Tack för intressant information.

[Folke Rosvall]

Jag har funderat på en sak när det gäller standardavvikelse.

När jag gick i gymnasiet fick vi lära oss att man kvadrerar alla avvikelser, adderar dessa och drar roten ur summan. Men man skulle lika gärna kunna tänka sej att man adderar absolutbeloppet av alla skillnader och dividerar med antalet. Ett vanligt medelvärde alltså. Finns det någon förnuftsmässig motivering till att man väljer det förstnämnda? Eller handlar det bara om att någon började på ett visst sätt och sedan har alla andra följt efter?

Har du några funderingar kring detta?

[Lobo]

11 timmar sedan, säger Folke Rosvall :

Jag har funderat på en sak när det gäller standardavvikelse.

När jag gick i gymnasiet fick vi lära oss att man kvadrerar alla avvikelser, adderar dessa och drar roten ur summan. Men man skulle lika gärna kunna tänka sej att man adderar absolutbeloppet av alla skillnader och dividerar med antalet. Ett vanligt medelvärde alltså. Finns det någon förnuftsmässig motivering till att man väljer det förstnämnda? Eller handlar det bara om att någon började på ett visst sätt och sedan har alla andra följt efter?

Har du några funderingar kring detta?

Det är inget jag har lagt tid på. Det är ju greppbart med 2 tal. Har du -77 och 77, så är ju standardavvikelsen också 77. Rätt logiskt. Antingen vinner du 77 eller så förlorar du 77. Ditt väntevärde eller medelvärde är 0. Lägger du till ett tredje tal så blir det svårare att hänga med.

Köper du en lott för 1 kr, och det finns 1 vinst på 10 lotter som är på 10 kronor. Då är det detta som gäller. 
-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 9
Då är variansen 9 och standardavvikelsen 3.