Klyka cyklar för Barncancerfonden

[Klyka]

Jag har roat mig med att lösa ett matematiskt problem i en annan dagbok. Blev så nöjd med resultatet att jag spammar med det här också:

 

Satt och tänkte på en sak på bussen hem under en diskution med en granne/vän angående körkort.

 

Teoriprovet är på 65 frågor och godkänt ligger på 52. Vi utgår från att alla frågor har 4 svarsalternativ, Vad är % /oddsen på att man ska trycka in minst 52 rätt genom att bara se " inklickningsrutorna". Mao man ser varken frågan eller svaren utan får bara välja på om man vill ta nr 1,2,3 eller 4a på samtliga 65 frågor.

 

Uppskattar gjärna om någon har lust räkna ut detta.

 

För att lösa detta får vi använda oss av en binomialfördelning. Provresultatet är utfallet av en slumpmässig binomial variabel över en serie oberoende trials. En binomial variabel har två möjliga värden, 1 och 0. Låt oss säga att 1 är rätt svar på frågan och 0 är fel svar. Varje trial har sannolikheten P = 0.25 att utfalla 1.

 

Vi har n = 65 frågor (trials), och vill veta sannolikheten att minst k = 52 av dem blir godkända.

 

The probability mass function (vettefan vad det heter på svenska) ger att sannolikheten att få exakt k rätta svar över n trials är:

 

f(k; n, p) = Pr(K = k) = [n! / (k! * (n - k)!)] * p^k * (1 - p)^(n-k)

 

Sannolikheten att få minst 52 rätta svar är då summan av alla lösningar av ovanstående ekvation med n från 52 till 65:

 

Pr(K >= 52) = Sum[k; 52 -> 65] ([n! / (k! * (n - k)!)] * p^k * (1 - p)^(n-k))

 

Lite osäker på notationen här, men..

 

Det hela summerar i vilket fall som helst till 0,00000000000000024214%, alltså 1 på 4,13E+17 (alltså 413 följt av 15 nollor), dvs det är i princip omöjligt att klara testet på ren tur.

 

Om det var 50/50-frågor så skulle det vara 0,0007% chans att luckboxa sig till ett godkänt resultat.

 

Spontant känns det väldigt hårt. Nån får gärna bullshitdetekta min lösning.

 

wow, läste formeln ex antal ggr men det bara snurrade i huvudet men jätte stort tack till att du fick ut svaret som var det intressanta för mig:)

 

Med 4 alt misstänkte jag att % skulle bli väldigt liten för att tura in 52 rätt. Samtidigt var jag helt övertygad om att med 50/50 frågor som vi även diskuterade skulle % för nå 52rätt bli mer än vad faktan var.

 

Misstänker att det har att göra med att det är så pass många 50/50 man lär sätta i relation till antalet frågor?

 

Tack för du tog dig tid för uträkningen Klyka:)

 

Japps. Jag slängde in den första formeln i Excel för att kunna demonstrera sannolikhetsfördelningen grafiskt:

 

 

Man ser att det är mest sannolikt att träffa 16 rätt (vilket ligger närmast ens EV om 0.25*65=16.25). Notera att "17" på x-axeln innebär 16 rätt, "1" innebär 0 rätt.

 

Iom att det är så många frågor så är spridningen kring medeltalet rätt liten (ju fler trials, desto närmare EV:t kommer man, precis som i poker ). Långt innan 52 rätt har sannolikheten gått ned på nära noll.

 

Sen tog jag mig an att förklara det hela lite närmare:

 

Det blev ett riktigt långt och krångligt inlägg detta, men here we go!

 

:club:

 

The probability mass function heter funktionen som gav den fina fördelningskurvan som jag postade ovan. Wikipedias bild visar den lite bättre:

 

 

n är hur många trials vi gör, dvs i detta fallet hur många frågor det är på provet. p är sannolikheten att en trial lyckas, dvs 0.25 i det här fallet, eftersom det är 1/4 chans att luckboxa rätt svar. Givet n och p så kan vi få fram en sannolikhetsfördelningskurva (probability mass function) som visar hur stor sannolikheten att få exakt ett visst antal (k) rätt (successed trials).

 

Till exempel ser vi i grafen att om p = 0.5 och n = 40 så kommer vi att få exakt 20 successes i ungefär 13% av fallen.

 

Själva formeln ser ut så här:

 

f(k; n, p) = Pr(K = k) = [n! / (k! * (n - k)!)] * p^k * (1 - p)^(n-k)

 

Eller lite snyggare formaterat:

 

 

(Vi återkommer senare till den där parentesen med ett "n" ovanför ett "k". Som ni ser så har jag ersatt det med "[n! / (k! * (n - k)!)]", det är samma sak.)

 

Jag är lite halvdålig på notationen, men jag tror man kan förklara det så här:

 

"f(k)" betyder "funktionen av k" och betyder att variabeln k är den vi har på x-axeln. "f(k; n, p)" betyder "funktionen av k givet n och p". n och p är ju konstanter (i vårt fall 65 respektive 0.25) som vi pluggar in i formeln.

 

"Pr(K = k)" kan jag nog inte riktigt förklara, jag bara tror att jag har nån form av intuitiv känsla för vad det betyder. Spelar ingen större roll, faktiskt. K är själva slumpvariabeln iaf, och k är det exakta antalet rätta svar. Nu till själva matten:

 

[n! / (k! * (n - k)!)] * p^k * (1 - p)^(n-k)

 

Vad betyder detta uttryck? Vi tar det ett steg i taget.

 

Det finns ett antal sätt att få exakt k antal rätt på n antal frågor. Ett sätt är att svara rätt på de första k antal frågorna och sedan svara fel på de resterande (n-k) antal frågorna. Hur stor är sannolikheten att det ska hända? Jo,

 

p^k * (1 - p)^(n-k)

 

Förklaring:

 

Sannolikheten att svara rätt på en fråga (p) upphöjt till så många frågor vi ska svara rätt på i rad (k) är lika med sannolikheten att vi svarar rätt på just så många frågor i rad. Alltså p^k.

 

Sannolikheten att sedan svara fel på en fråga (1-p) upphöjt till så många frågor vi ska svara fel på i rad (n-k) är lika med sannolikheten att vi svarar fel på resterande frågor. Alltså (1-p)^(n-k).

 

Sannolikheten att vi både först svarar rätt på k frågor och sedan svarar fel på resterande n-k frågor är de båda sannolikheterna multiplicerade med varandra. Alltså är p^k * (1 - p)^(n-k).

 

Som sagt så är detta sannolikheten att svara rätt på de första k frågorna och sedan svara fel på de resterande n-k frågorna. Men det finns ju fler sätt att svara rätt på exakt k av n frågor. Om n=4 (ett litet tal för överskådlighetens skull), alltså det är 4 frågor, och k=2, dvs vi ska svara rätt på 2 av 4 frågor, så kan det ju ske på något av följande sätt:

 

[FFRR, FRFR, FRRF, RFFR ,RFRF, RRFF]

 

Sannolikheten för RRFF (rätt på de k första, fel på de n-k sista) har vi ju redan räknat ut en formel för. Men sannolikheten är ju densamma för alla, så allt vi behöver göra är att multiplicera vår formel (1-p)^(n-k) med antalet möjliga sekvenser av rätta och felaktiga svar. Detta antal råkar vara

 

n! / (k! * (n - k)!)

 

Denna formel, som också kan skrivas så här:

 

 

kallas binomialkoefficienten och utläses ofta n CHOOSE k. Detta för att den svarar på frågan "om jag har n element, på hur många sätt kan jag välja k element ur denna mängd, utan att ta hänsyn till vilket element jag väljer i vilken ordning?".

 

Glöm problemet med körkortsprovet för ett ögonblick, så ska vi istället angripa binomialkoefficienten på ett helt annat sätt. Jag ska försöka förklara hur den fungerar, och när vi förstår oss på den så kan vi applicera den på vårt problem.

 

Låt säga att vi har n element. Dessa element kan ordnas på n! sätt. Varför? Jo, låt säga att vi lägger dem alla på en lång rad. När vi lägger det första, så har vi n element att välja på, när vi lägger det andra har vi (n-1) att välja på, därefter (n-2), osv. Om n=6, och vi således har 6 element, så kan de alltså ordnas på 6*5*4*3*2*1 = 6! sätt.

 

Låt nu säga att vi vill välja ut k element ur denna mängd om n element. Vi gör detta genom att, precis som förut, lägga ut alla n element på en rad, och därefter ta de k element som vi la ut först. Vi behöver förstås inte ens lägga ut alla n element, utan kan stanna när vi lagt ut k stycken.

 

Om vi trots allt fortsätter att lägga ut element ur mängden om n element även efter att vi lagt ut de första k elementen, så har vi (n-k) element kvar, och dessa kan i sin tur läggas ut på (n-k)! olika sätt. I den totala mängden n! sätt att lägga ut n element finns alltså (n-k)! kombinationer för varje sätt att välja k element. Genom att dividera bort dessa (n-k)! från n! får vi alltså det totala antalet sätt att välja ut k element från de n elementen.

 

Vi kan välja ut k element ur en mängd om n element på n!/(n-k)! sätt.

 

Låt säga att vi har 4 element [a, b, c, d]) och vill välja ut 2; n=5, k=2.

 

n!/(n-k)! = 4! / (4-2)! = 4! / 2! = 24 / 2 = 12

 

Vi kan alltså välja 2 element ur mängden [a, b, c, d] på 12 olika sätt:

 

[ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc]

 

Men [ab] och [ba] är ju samma element, bara valda i olika ordning, och vi ville ju veta på hur många sätt man kan välja k element ur en mängd om n element utan hänsyn till i vilken ordning man väljer dem.

 

Varje delmängd k element kan ordnas på k! olika sätt, så när vi säger att vi kan välja k element ur en mängd om n element på n!/(n-k)! olika sätt så är k! av de sätten i realiteten bara olika ordningar av samma delmängd. Genom att dividera bort dessa olika ordningar, så får vi det vi söker, nämligen på hur många sätt vi kan välja k element ur en mängd om n element, utan hänsyn till deras inbördes ordning.

 

n! / (n-k)! / k!

 

således, vilket kan skrivas om till

 

n! / (k! * (n-k)!)

 

Why, hello there, binomial coefficient!

 

OK, åter till körkortsprovet. Vi har n frågor, eller n element. Vi skriver rätt svar på k av dessa frågor. På hur många sätt kan det ske? Om vi inte tar hänsyn till i vilken ordning vi besvarade frågorna (vi kanske började med den sista frågan och slutade med den första, men det är ju inte relevant) så får vi svaret genom att räkna ut på hur många sätt man kan välja k element ur en mängd om n element utan hänsyn till deras inbördes ordning. Bekant? Således:

 

n! / (n-k)! / k!

 

Och därmed är de två leden i the probability mass function förklarade:

 

[n! / (k! * (n - k)!)] * p^k * (1 - p)^(n-k)

 

Men denna formel ger ju bara sannolikheten att få exakt k antal rätta svar på provet. Hur får vi fram sannolikheten för att klara provet? Det gör man ju med alla provresultat 52+, dvs för alla k>=52.

 

Alltså måste vi summera resultaten av the probability mass function för alla 52<=k<=65.

 

Vill vi så kan vi fulräkna oss till svaret, genom att helt enkelt ta vår formel och plugga in alla värden för k från 52 upp till 65 och summera resultaten. Summan = sannolikheten att få 52 eller fler rätta svar. Detta kan lätt göras i Excel. Det var så jag räknade ut det. Det känns nästan för enkelt..

 

Denna summering kan skrivas så här:

 

Pr(K >= 52) = Sum[k; 52 -> 65] ([n! / (k! * (n - k)!)] * p^k * (1 - p)^(n-k))

 

och är besläktad med the cummulative distribution function

 

 

som ger sannolikheten att få max x antal rätt, och ger denna fina graf:

 

 

Ett mer elegant sätt att komma fram till svaret på hur stor sannolikheten är att klara testet är att med hjälp av the cummulative distribution function räkna ut sannolikheten att inte klara testet och subtrahera detta från 1.

 

:club:

 

Det var det hela. Hoppas att nån orkar traggla sig igenom detta, att jag inte klantat till det nånstans på vägen och att det hela är åtminstone något sånär förståeligt. Jag orkar inte riktigt bullshitdetecta just nu, så det kanske kommer dementier vid senare tillfälle. Nån annan som känner sig kvalificerad får gärna hjälpa till med BS detection.

 

Nu ska jag vila huvudet. Detta var roligt.

 

:heart:

 

Phew..

[Starfitter]

mkt mkt sick:shock: wpwpwppwpw

[Crappy]

Tänk om min dåvarande matematik professor förklarat det på det sättet. Då hade jag inte lagt av efter 20 poäng eller vad det nu blev.

 

WP!

[Klyka]

Ty, ty. Det är MrGreen () som gör det!

[Klyka]

Det var, av naturliga skäl, lite begreppsförvirring i min långa post ovan. På nåt ställe tror jag att jag skrev "kombination" där det egentligen borde stått "permutation".

 

Ta en starthand i Texas Hold'em. , till exempel. Detta är en kombination. Det finns 52 kort i leken och binomialkoefficienten ger vid handen att det finns 52! / (2! * (52-2)!) = 1326 tvåkortskombinationer, dvs starthänder. Härvid anses och vara olika händer, vilket ju är helt korrekt, då de spelar olika på olika floppar. Däremot är och samma hand, bara att korten kom i olika ordning - de är samma kombination, men olika permutationer.

 

Antalet permutationer är alltså antalet sätt att dra k element ur en mängd om n element, där samma resulterande delmängd dragen i olika ordning anses vara olika, dvs där man tar hänsyn till i vilken ordning de dras. Antalet kombinationer är antalet sätt att dra k element ur en mängd om n element, där samma resulterande delmängd dragen i olika ordning anses vara samma, dvs man tar inte hänsyn till i vilken ordning de dras.

 

Varje delmängd om k element kan ordnas (permuteras) på k! sätt, dvs för varje kombination om k element finns det k! permutationer. Det finns alltså k! gånger fler permutationer än kombinationer. Således får vi antalet kombinationer genom att dela antalet permutationer med k!.

 

Vi har en mängd om n element.

 

Denna kan permuteras på n! sätt.

 

Vi kan dra n!/(n-k)! permutationer av k element ur mängden om n element. (om ni undrar varför, så repetera detta stycke från posten ovan:)

 

Låt säga att vi har n element. Dessa element kan ordnas på n! sätt. Varför? Jo, låt säga att vi lägger dem alla på en lång rad. När vi lägger det första, så har vi n element att välja på, när vi lägger det andra har vi (n-1) att välja på, därefter (n-2), osv. Om n=6, och vi således har 6 element, så kan de alltså ordnas på 6*5*4*3*2*1 = 6! sätt.

 

Låt nu säga att vi vill välja ut k element ur denna mängd om n element. Vi gör detta genom att, precis som förut, lägga ut alla n element på en rad, och därefter ta de k element som vi la ut först. Vi behöver förstås inte ens lägga ut alla n element, utan kan stanna när vi lagt ut k stycken.

 

Om vi trots allt fortsätter att lägga ut element ur mängden om n element även efter att vi lagt ut de första k elementen, så har vi (n-k) element kvar, och dessa kan i sin tur läggas ut på (n-k)! olika sätt. I den totala mängden n! sätt att lägga ut n element finns alltså (n-k)! kombinationer för varje sätt att välja k element. Genom att dividera bort dessa (n-k)! från n! får vi alltså det totala antalet sätt att välja ut k element från de n elementen.

 

Vi kan välja ut k element ur en mängd om n element på n!/(n-k)! sätt.

 

Som vi kom fram till så finns det k! permutationer för varje kombination om k element, så

 

[Antal permutationer om k element] = k! * [Antalet kombinationer om k element]

[Antal permutationer om k element] / k! = [Antalet kombinationer om k element]

[Antalet kombinationer om k element] = n!/(n-k)! / k!

[Antalet kombinationer om k element] = n! / (k! * (n-k)!)

 

Känns som en tydligare förklaring.

 

Yet again, fml.

[MikeTime]

Boka in en lördag i slutet av augusti mannen! Då blir det röj hemma hos mig igen...

[JohnH]

 

Skaffa en tjej klyka. Det där ser inte bra ut.

 

 

...sen vet ju alla att det är bra mycket lättare än att slumpa in det hela. Man kan ju tex ta bort 5 i rad på A osv. Man klonkade ju själv genom att se "nu har det inte varit nån på C på länge... C it is"

[Klyka]

Boka in en lördag i slutet av augusti mannen! Då blir det röj hemma hos mig igen...

 

Givet förutsatt att jag inte är ute och cyklar eller nåt annat idiotiskt då.

 

 

Skaffa en tjej klyka. Det där ser inte bra ut.

 

Nä, jag har haft tjej. Det tog massor av tid från såna här saker.

 

Blir det CC ikväll? Mycket tyder på att jag ska dit.

[MikeTime]

Men lol. Du är väl alltid ute och cyklar...

[Klyka]

Det där hör jag lika sällan som en dealer hör skämt om att hon ger dåliga kort.

[Klyka]

Lite välbevävliga backdagar nu, började ju bli odräglig.

 

-3610 kr igår. Sjuk dag. Först storback efter att ha börjat som en riktig jävla donator. Rent idiotspel. Sen skärpte jag mig och tycker själv att jag började spela riktigt bra, upp på lite plus. Hade inte riktigt koll på tiden och missade sista anslutningen hem, så blev kvar in på de för mig så farliga småtimmarna. Har ju kommit till insikten att jag inte spelar bra på småtimmarna. Är fan fisk när jag blir trött. Efter 8.5h bröt jag, då var jag alltså åter på minussidan.

 

Det var en riktig fisk a la 2005 vid bordet. Sjukt. Han satt och synade nästan allt, när nån bettade satt han och kisade mot floppen och sina kort, man såg hur kugghjulen riktigt arbetade för högtryck för att se om han kunde hitta någon som helst möjlighet att träffa. Synade med allt och klonkade på alla rivrar. Sickt värde när han samlat på sig en riktigt stor stack.

 

När han efter 4-5h preflophöjde för första gången var det många stora ögon runt bordet. En hel del synade in sig med förhoppning om implicita. Han överbetställer på floppen K8x och får en syn av AK, men rivrar tvåpar som står med 89o.

[Klyka]

Recept på ännu en backdag om två inköp:

 

1) Få in 3 stycken 2k-stackar preflopp med AA, bli utdragen av QQ.

2) Spela bra ett tag och jobba in backet och lite till.

3) Förbered backet genom att bluffa en duktig, obluffbar bekant som efter lång betänketid synar din rivertunna med nästbottenpar no kicker (kudos).

4) Spela en hand så dåligt att du vägrar återberätta den på forumet för att du skulle skämmas så fruktansvärt och troligen bli bannad från forumet om du skrev om den. Gör det för en kvarvarande stack om ca 2400.

5) Inse att du tiltar, call it a day.

 

-4000 kr.

[MikeTime]

Dummmmdummmmmmdurrrrr...pling: Du kommer att backa de nästkommande två gångerna. Den tredjen gången kommer du dock att plussa minst lika mycket som du backar vid nästa besök. På ditt fjärde besök möter du dessutom ditt livs kärlek i form av en CC-vakt som tar med dig till en öde ö där ni idkar navelsex och lätthånglar 19 av dygnets 28 timmar (en väldigt öde ö...).

 

The Time-Mike has spoken.

 

Korrigerat.

[Klyka]

Från 2+2. Tyckte den var lite rolig.

 

[Ängeln17]

Jag har roat mig med att lösa ett matematiskt problem i en annan dagbok. Blev så nöjd med resultatet att jag spammar med det här också:

 

 

 

 

 

 

:shock: :shock:

 

 

Sen tog jag mig an att förklara det hela lite närmare:

 

 

 

Phew..

 

Jag tror jag tar med mig bollen och går ut och latjar med trasan lite istället för att hänga på PF från och med detta inlägg

 

1+1 = 2. Sen försvann jag.

[Klyka]

Ängeln, kör ni fortfarande poker i Lkpg? Min syrra har flyttat dit, så jag kanske har vägarna förbi nån gång..

 

Btw:

 

"Pr(K = k)" kan jag nog inte riktigt förklara, jag bara tror att jag har nån form av intuitiv känsla för vad det betyder. Spelar ingen större roll, faktiskt. K är själva slumpvariabeln iaf, och k är det exakta antalet rätta svar.

 

Sannolikheten att slumpvariablen K utfaller med k successes skulle jag tippa på att man kan översätta det till.

[Ängeln17]

Ängeln, kör ni fortfarande poker i Lkpg? Min syrra har flyttat dit, så jag kanske har vägarna förbi nån gång..

.

 

Jupp.

[Klyka]

Valborg. Så många timmar. Så mycket folk. Så lyckat.

[Klyka]

Ka-ching! +330 kr på CC ikväll.

 

Spelade med en fransman som jag träffat där några gånger. Han bor också i Uppsala. Jag pratar lite franska (väldigt lite). Vi spelar båda poker. Given bekantskap att odla.

[Klyka]

Kommer nog en liten rapport om kvällens CC-spel imorrn (idag). -985 kr blev resultatet, men jag var nöjd med spelet över lag. Det var några stora potter, most notably en 11k-pott som jag förlorade.

[JohnH]

Det är ju dom stora man ska vinna.

[MikeTime]

Jag drar till Lkp för lite mtt och cglir på lördag Klykman. Hör av dig om du har lust att hänga på! (Du kan ju ta tåget till Hallsberg och sen åka med mig och Le Petite Tanque i bil till Lkp...)

[Klyka]

Det är ju dom stora man ska vinna.

 

Men jag delfinansierade ju förlusten med en massa små påtter...

 

Jag drar till Lkp för lite mtt och cglir på lördag Klykman. Hör av dig om du har lust att hänga på! (Du kan ju ta tåget till Hallsberg och sen åka med mig och Le Petite Tanque i bil till Lkp...)

 

Sickt lockande. Jobbar då, tyvärr.

[KungKroon]

Nu har jag läst igenom det mesta här. Stor underhållning!

 

Jag greppar inte riktigt hur du kan vara så sjukt duktig på pokerteori, men samtidigt (no disrespect) en ganska medioker spelare.

Det känns som att du skulle kunna bli sjukt bra om du bara försökte. Jag själv skulle äta upp min moster för att ha din hjärna ().

Och försök nu inte komma med bortförklaringar i stil med "Jag har ingen känsla för spelet" osv, för det har inte jag heller. Jag har bara lagt ner massa jobb på att bli den okej spelaren jag är idag, och det med en högst medioker hjärna. Tänk vad bra du kunde bli med dina brains, liksom...

 

Jag förutsätter att jag är en bättre spelare än dig mtp AK-handen (exklusive datorproblemet på river) och livesqueezen med T9s i pos.

(OBS menar inte att vara dryg här)

[JohnH]

Nu har jag läst igenom det mesta här. Stor underhållning!

 

Jag greppar inte riktigt hur du kan vara så sjukt duktig på pokerteori, men samtidigt (no disrespect) en ganska medioker spelare.

Det känns som att du skulle kunna bli sjukt bra om du bara försökte. Jag själv skulle äta upp min moster för att ha din hjärna ().

Och försök nu inte komma med bortförklaringar i stil med "Jag har ingen känsla för spelet" osv, för det har inte jag heller. Jag har bara lagt ner massa jobb på att bli den okej spelaren jag är idag, och det med en högst medioker hjärna. Tänk vad bra du kunde bli med dina brains, liksom...

 

Jag förutsätter att jag är en bättre spelare än dig mtp AK-handen (exklusive datorproblemet på river) och livesqueezen med T9s i pos.

(OBS menar inte att vara dryg här)

 

 

Precis så är det!

 

Klyka

Du skulle lätt vara en bra coach tex! ...men på nåt vänster så kopplar du bort det när du själv ska spela. Absolut inte alltid men väl i ett par händer. Om du satt som sidekick på 50/50 och kollade på mina spelade händer så hade du garanterat valt genomsnittligt bättre linjer än vad jag gör.

 

Lite som ris och ros i samma mening...

 

Klurar på samma saker som kroon.

 

Du kanske har samma problem som Phil Ivey. Han är ju smart men lirar ändå EVminusspel för o få sin kick.