Gå till innehåll

Klykas studiedagbok - Multipla normaldistributioner och annat sexigt


Klyka

Recommended Posts

L är ju vikten av den stora antilopen och S den lilla, så den sökta sannolikheten - kvoten L/(L+S) - blir större ju större L är i förhållande till S, och den blir marginellt större än 0,5 när L är marginellt större än S. I mina ögon är det helt logiskt.

 

Jag antar att KimHartman från början har uttryckt det här trevliga lilla problemet i engelskspråkig form (L = large, S = small).

 

Haha, ja, vad säger man, är det måndagsmorgon så är det ... :oops:

Läste såklart L = Lilla och S = Stora. Tvärtom blir det logiskt, ja.

*visslar lite falskt på väg till kaffeautomaten för femte gången idag*

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

  • Svars 185
  • Created
  • Senaste svar

Top Posters In This Topic

Försökte komma på hur man ska lösa problemet, men upptäckte att jag suger på sånt här.

 

En liten pay-out matrix:

 

   |  L  |  S  |
---+-----+-----+
L  | L/2 |  L  |
---+-----+-----+
S  |  S  | S/2 |
---+-----+-----+

Först försökte jag med

 

P*L/2 + (1-P)*L = P*S + (1-P)*S/2 (där P är den sannolikhet med vilken respektive gepard väljer den stora antilopen)

 

men det gick inge vidare. Sen tyckte jag mig dra mig till minnes att man ska skapa ett ekvationssystem, så jag ställde upp

 

P*L/2 + (1-P)*L = 0

P*S + (1-P)*S/2 = 0

 

men är det verkligen nån skillnad mot den första ekvationen, förutom att det blir krångligare?

 

Hur som helst kan jag ändå inte lösa ekvationssystemet. Går det ens när de inte delar nån annan variabel än den sökta variabeln?

 

Jag är handfallen.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Om p1 resp. p2 är sannolikheterna att gepard 1 resp. 2 väljer den stora antilopen så har vi "köttfunktionen" för gepard 1:

 

f(p1,p2)=p1*p2*L/2+p1(1-p2)L+(1-p1)p2*S+(1-p1)(1-p2)S/2

 

Men p1=p2=p så

 

f(p)=0,5Lp^2+Lp-Lp^2+Sp-Sp^2+0,5S-Sp+0,5Sp^2

 

f(p)=Lp-0,5Lp^2+0,5S-0,5Sp^2

 

f'(p)=L-p(L+S)=0

 

L=p(L+S)

 

p=L/(L+S)

 

Och samma för gepard 2. Verkar alltså som om Ignatius hade helt rätt...

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Lösningen L/(L+S) är fel.. :-P

Som det påpekades är den intuitiv i L->S gränsen, men inte i L->2S.

 

Ett tips hur man hittar en av lösningarna till problemet kommer här:

Var och en av geparderna ska välja den stora antilopen precis så ofta att den andres pay-off blir oberoende av vilket val denne gör.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Gepard 1 med sannolikhet 1

Gepard 2 med sannolikhet 0

 

Att detta är bäst för G1 givet G2s sannolikhet är givet. Men det gäller även för G2 givet (det kluriga) antagandet att L<2S eftersom det är bättre att få S med säkerhet än att få S med sannolikhet p och L/2<S med sannolikhet (1-p).

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Lösningen L/(L+S) är fel.. :-P

Som det påpekades är den intuitiv i L->S gränsen, men inte i L->2S.

 

Ett tips hur man löser problemet kommer här:

Antag att den ena geparden meddelar den andra med vilken sannolikhet x han kommer välja den större antilopen. Om den andra geparden tänker rationellt (vilket vi förutsätter), kommer han nu försöka maximera sin pay-off baserat på x. Det gäller alltså för den första genparden att välja sitt x på ett sånt sätt att han minimerar detta maximum.

 

Varför är det självklart att båda geparderna maximerar sin pay-off genom att minimera den andres maximala pay-off? Det är ju inget nollsummespel utan snarare ett slags bilateralt monopol där paretooptimalitet endast kan uppnås om geparderna kommer överens om att ta var sin antilop.

 

I ett intertemporalt perspektiv bör de ju i så fall kunna hitta lösningen att t.ex. ta en stor antilop varannan gång och en liten varannan... eller?

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Varför är det självklart att båda geparderna maximerar sin pay-off genom att minimera den andres maximala pay-off? Det är ju inget nollsummespel utan snarare ett slags bilateralt monopol där paretooptimalitet endast kan uppnås om geparderna kommer överens om att ta var sin antilop.

 

I ett intertemporalt perspektiv bör de ju i så fall kunna hitta lösningen att t.ex. ta en stor antilop varannan gång och en liten varannan... eller?

 

Jag uttryckte mej lite klantigt där. Generellt gäller ju inte att man maximerar sin pay-off i ett icke-nollesummespel genom att minimera den andres pay-off. Men för detta problemet leder en sån minimering till en av de tre möjliga lösningarna.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Gepard 1 med sannolikhet 1

Gepard 2 med sannolikhet 0

 

Att detta är bäst för G1 givet G2s sannolikhet är givet. Men det gäller även för G2 givet (det kluriga) antagandet att L<2S eftersom det är bättre att få S med säkerhet än att få S med sannolikhet p och L/2<S med sannolikhet (1-p).

 

Detta är en av lösningarna. Och det finns såkart en till som är som denna fast tvärtom. Dessutom finns det en tredje lösning.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Eftersom geparderna kan kommunicera med varandra (ingick inte i förutsättningarna från början) så bör varje lösning som innebär att endera geparden meddelar den andre att han tänker välja den större antilopen anses vara en jämvikt, eftersom det bästa den andre kan göra då alltid är att välja den mindre antilopen.

 

Men eftersom de nu kan kommunicera så borde de väl även kunna komma överens om att dela bytena, eller att den som tar den lilla antilopen denna gång tar den större nästa gång (Coase-teoremet i ett långsiktigt perspektiv). Kan de inte kommunicera alls så tycker jag fortfarande att lösningen L/(L+S) är korrekt.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Eftersom geparderna kan kommunicera med varandra (ingick inte i förutsättningarna från början) så bör varje lösning som innebär att endera geparden meddelar den andre att han tänker välja den större antilopen anses vara en jämvikt, eftersom det bästa den andre kan göra då alltid är att välja den mindre antilopen.

 

Men eftersom de nu kan kommunicera så borde de väl även kunna komma överens om att dela bytena, eller att den som tar den lilla antilopen denna gång tar den större nästa gång (Coase-teoremet i ett långsiktigt perspektiv). Kan de inte kommunicera alls så tycker jag fortfarande att lösningen L/(L+S) är korrekt.

 

Vi antar att de inte kan kommunicera. Skulle de kunna det skulle de som du påpekar kunna samarbeta genom växla vem som får den stora över två eller flera "spelrundor".

 

Att var och en av dem väljer den stora med slh:en L/(L+S) är inte korrekt. Om den ena geparden valde den stora antilopen med denna slh, skulle den andra alltid göra bäst i att ta den stora. Han skulle alltså ha anledning att avvika från jämvikten, vilket är en motsägelse.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Vi antar att de inte kan kommunicera. Skulle de kunna det skulle de som du påpekar kunna samarbeta genom växla vem som får den stora över två eller flera "spelrundor".

 

Att var och en av dem väljer den stora med slh:en L/(L+S) är inte korrekt. Om den ena geparden valde den stora antilopen med denna slh, skulle den andra alltid göra bäst i att ta den stora. Han skulle alltså ha anledning att avvika från jämvikten, vilket är en motsägelse.

 

Eftersom de inte kan kommunicera vet ju inte gepard 2 vilken sannolikhet gepard 1 använder.

 

Men om gepard 1 använder en viss sannolikhet för att välja antilop, som han vet att gepard 2 känner till och kommer att utnyttja, så anpassar ju gepard 1 sin sannolikhet till det. Och detta faktum kommer i så fall gepard 2 att anpassa sig till. Och så vidare. Det hela blir ett spel i många nivåer, som Sklanskys nivåprincip "han vet att jag vet att han vet att jag vet...". Måhända konvergerar det spelet i just detta fall mot en viss sannolikhet, men i så fall har jag ingen aning om hur man räknar ut den.

 

Om det ska röra sig om en jämvikt, där de båda geparderna är identiska och väljer antilop samtidigt utan att kunna kommunicera, så kan jag heller inte se hur jämvikten skulle kunna innebära att de har olika sannolikheter att välja den stora antilopen.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Jag vill bara först förtydliga att problemet inte gick ut på att hitta (kooperativa) strategier som i nån mening är optimala. Det gällde att hitta jämviktsstrategier, dvs sådana att ingen av parterna har något att vinna på att ensidigt avvika från dom. Två av dessa har hittas, nämligen (P1,P2) = (1,0) och (P1,P2) = (0,1), där Pi betecknar den slh med vilken gepard i väljer den stora anitolpen. Detta finns en tredje jämvikt som är en sk symmetrisk, mixad jämvikt. Jag kan säga så mkt som så att Klyka har varit i närheten.. 8-)

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Jag vill bara först förtydliga att problemet inte gick ut på att hitta (kooperativa) strategier som i nån mening är optimala. Det gällde att hitta jämviktsstrategier, dvs sådana att ingen av parterna har något att vinna på att ensidigt avvika från dom. Två av dessa har hittas, nämligen (P1,P2) = (1,0) och (P1,P2) = (0,1), där Pi betecknar den slh med vilken gepard i väljer den stora anitolpen. Detta finns en tredje jämvikt som är en sk symmetrisk, mixad jämvikt. Jag kan säga så mkt som så att Klyka har varit i närheten.. 8-)

 

Strategierna (P1,P2) = (1,0) och (P1,P2) = (0,1) är givetvis jämvikter i ett spelteoretiskt perspektiv om den ena geparden väljer antilop först och den andre anpassar sig efter valet. Men inte om de oberoende av varandra väljer ut var sin antilop och anfaller, vilket var så jag uppfattade problemet.

 

Var och en av geparderna väljer att attackera en av antiloperna utan att den andra vet vilken.
Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Det hela känns lite rörigt eftersom det har sagts att den ena geparden kan meddela den andra med vilken sannolikhet han kommer välja den större antilopen, samtidigt som det har sagts att geparderna inte alls kan kommunicera.

 

Vidare förstår jag inte riktigt om geparderna väljer mål och anfaller samtidigt helt oberoende av varandra eller om den enes val kan vara betingat av vilket val den andre redan har gjort.

 

Givet att ingen kommunikation alls sker och givet att de väljer mål helt oberoende av varandra så kan jag inte se varför Ignatius första svar inte skulle vara rätt.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Det hela känns lite rörigt eftersom det har sagts att den ena geparden kan meddela den andra med vilken sannolikhet han kommer välja den större antilopen, samtidigt som det har sagts att geparderna inte alls kan kommunicera.

 

Vidare förstår jag inte riktigt om geparderna väljer mål och anfaller samtidigt helt oberoende av varandra eller om den enes val kan vara betingat av vilket val den andre redan har gjort.

 

Det jag skrev om att den ene meddelar sitt val av P, var bara ett sätt att tänka för att hitta en av jämvikterna. De attackerar alltså samtidigt, och kan inte kommunicera med varandra.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

OK, nöt-KimHartman (kudos för detta problem) påstår att jag var i närheten, så jag försöker igen.

 

Pay-out matrixen igen:

 

   |  L  |  S  |
---+-----+-----+
L  | L/2 |  L  |
---+-----+-----+
S  |  S  | S/2 |
---+-----+-----+

 

Förra gången ställda jag upp detta ekvationssystem:

 

P*L/2 + (1-P)*L = 0

P*S + (1-P)*S/2 = 0

 

Men där innehåller varje ekvation bara en av de sökta variablerna, så det går inte att sätta in dem i varandra (vad det nu heter på mattespråk - "lösa ekvationssystemet" känns nära till hands (?)). Den här gången gör jag så här ist:

 

PL/2 + S(1-P) = PL + (1-P)S/2

 

PL/2 + S - PS = PL + S/2 - PS/2

PL/2 - PL + PS/2 - PS = S/2 - s

PL + PS = S

P(L+S) = S

 

P = S / (L+S)

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Givet att ingen kommunikation alls sker och givet att de väljer mål helt oberoende av varandra så kan jag inte se varför Ignatius första svar inte skulle vara rätt.

 

Om båda geparderna attackerar den stora antilopen med slh P=L/(L+S), har båda var för sig anledning att avvika från denna strategi och alltså är det inte en jämvikt.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

OK, nöt-KimHartman (kudos för detta problem) påstår att jag var i närheten, så jag försöker igen.

 

Pay-out matrixen igen:

 

   |  L  |  S  |
---+-----+-----+
L  | L/2 |  L  |
---+-----+-----+
S  |  S  | S/2 |
---+-----+-----+

 

Förra gången ställda jag upp detta ekvationssystem:

 

P*L/2 + (1-P)*L = 0

P*S + (1-P)*S/2 = 0

 

Men där innehåller varje ekvation bara en av de sökta variablerna, så det går inte att sätta in dem i varandra (vad det nu heter på mattespråk - "lösa ekvationssystemet" känns nära till hands (?)). Den här gången gör jag så här ist:

 

PL/2 + S(1-P) = PL + (1-P)S/2

 

PL/2 + S - PS = PL + S/2 - PS/2

PL/2 - PL + PS/2 - PS = S/2 - s

PL + PS = S

P(L+S) = S

 

P = S / (L+S)

 

Det är tyvärr inte heller rätt.

 

Ett sätt att komma på rätt spår är att fundera på vad man skulle göra om man var en av geparderna och kände den andres val av P (rent hypotetiskt, fortfarande ingen kommunikation!). Finns det ngt såndat P som gör att man är likgiltig inför sitt eget val? Om det finns ett sådant P, och det gör det, så kan båda gepardena nyttja detta. Ingen har nu ngt att vinna på att avvika från sin strategi.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

För att förtydliga lite - man kan tänka sig att de båda geparderna vet varandras strategier, dvs G1 vet att G2 attackerar den stora antilopen si och så stor andel av gångerna, men han vet däremot inte vilken antilop G2 kommer att attackera i det enskilda fallet.

 

En optimal strategi är optimal mot med-/motspelarens optimala strategi, även när båda vet om varandras strategier. De kan inte kommunicera, men de känner till varandras strategier.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Har inte riktigt fattat vad jag håller på med men har kommit fram till p1 = p2 = (L-S)/(L+S).

 

Genom att maximera värdefunktionen för G1 utan att anta att p1 = p2, fås ett uttryck för p2 som skall vara noll, vilket leder till uttrycket ovan. Verkar ju lite skumt att få ett värde för p2 när man maximerar för p1, men what the hell...

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Har inte riktigt fattat vad jag håller på med men har kommit fram till p1 = p2 = (L-S)/(L+S).

 

Genom att maximera värdefunktionen för G1 utan att anta att p1 = p2, fås ett uttryck för p2 som skall vara noll, vilket leder till uttrycket ovan. Verkar ju lite skumt att få ett värde för p2 när man maximerar för p1, men what the hell...

 

Detta uttryck är heller inte rätt.

Länk till kommentar
Dela på andra webbplatser

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Gäst
Svara i detta ämne...

×   Du har klistrat in innehåll med formatering.   Ta bort formatering

  Endast 75 max uttryckssymboler är tillåtna.

×   Din länk har automatiskt bäddats in.   Visa som länk istället

×   Ditt tidigare innehåll har återställts.   Rensa redigerare

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.


×
×
  • Skapa nytt...