Klykas studiedagbok - Multipla normaldistributioner och annat sexigt

[DocLame]

Problemet är ju att oändligheten är definierad endast som oändligheten. Därför är t.ex. mängderna {alla udda heltal} och {alla heltal} lika (oändligt) stora.

 

När jag läste matte försökte jag övertyga min lärare att man borde kunna definiera noll som kvoten mellan 1 och oändligheten. Men, se det gick visst inte, för oändligheten är bara oändligheten och inget annat. Det finns inte olika oändligheter. Och som jag förstod det (vilket kan vara fel?) så kan man därmed inte heller använda oändligheten i någon matematisk operation.

[Klyka]

Dlinder: Först singlar man om betalningen, och sen singlar man om vinsten. I båda fallen går det till på samma sätt, fast när man singlar om betalningen så kostar 3 kronor dubbelt så mkt som man vinner när man får 3 kronor när man senare singlar om vinsten.

 

Alltså, om jag singlar tre kronor först, så betyder det att jag ska betala 8 kr. Säg att jag sedan singlar 3 kr enligt reglerna i din paradox. Då ska jag få 4 kr.

 

Man kan säga att det oändliga negativa värdet av den första singlingen är (nästan) dubbelt så stort som det oändliga positiva värdet av den andra singlingen.

[DocLame]

Man kan säga att det oändliga negativa värdet av den första singlingen är (nästan) dubbelt så stort som det oändliga positiva värdet av den andra singlingen.

 

Det är ju det man inte kan. Oändligheten är oändligheten. Det finns inte "olika stora" oändligheter. (Och det är det som jag själv tycker är besvärligt rent förnuftsmässigt, men jag har lyckats acceptera att det bara är så.)

[boil42]

Det är ju det man inte kan. Oändligheten är oändligheten. Det finns inte "olika stora" oändligheter. (Och det är det som jag själv tycker är besvärligt rent förnuftsmässigt, men jag har lyckats acceptera att det bara är så.)

 

Nja, alltså jo, man kan visst tala om "olika stora oändligheter", som dlinder påpekade tidigare. (Se Cantors teorem) Men problemet är väl att de ändå är lite bökiga att räkna med. (Eller kanske just därför.)

 

Till exempel, bara för att det finns olika stora oändligheter, så är jag inte säker på att man kan dra Klykas slutsats att det oändliga negativa värdet av första singlingen är dubbelt så stort som det oändliga positiva värdet av den andra. Eller kan man det? Och vad skulle det betyda isåfall? Ah ... nu blev jag snurrig. Fan.

[DocLame]

Cantors teorem är ju å andra sidan kritiserat för att inte vara bevisat i positiv mening, utan "bara" via motsägelsebevis. "Anta att en oändlighet är ändlig..."

 

Och teoremet är väl framför allt helt meningslöst så länge man håller sig till de reella talens tillämpade matematik? Det går med andra ord inte alls att räkna med. Däremot är det givetvis rätt djupt att diskutera på ett filosofiskt plan.

 

Men där backar i alla fall jag ur.

 

EDIT: Nej, det gjorde jag visst inte...

[DocLame]

Sorry om jag OT:ar sönder din studiedagbok, Klyka, men jag kände mig filosofisk och fastnade i en tanke relaterad till det här med "olika stora oändligheter":

 

Anta att det finns olika stora oändligheter. Kommer skillnaden mellan dem i så fall i sig alltid att vara oändlig?

[Klyka]

Intressant länk, boil42. Rätt skön sida. Verkar finnas en del lite mer lättförklarad matematik där. Ska kolla närmare på det sen.

 

Har ägnat min morgon åt denna tråd på 2+2:

 

http://forumserver.twoplustwo.com/showflat.php?Cat=0&Number=11955219&page=0&vc=1#Post11955219

 

Jobbigt. Känns som JayShark är lite fel ute, och som att båda resonerar rätt konstigt.. Men men.

 

har ingen direkt koll på folk på 2+2. Vem är den där JayShark egentligen? Och vem är TNixon?

[Klyka]

Anta att det finns olika stora oändligheter. Kommer skillnaden mellan dem i så fall i sig alltid att vara oändlig?

 

Heh.. Svårt.. Vad händer till exempel om vi har två lika stora oändligheter och adderar 1 till den ena?

[DocLame]

Heh.. Svårt.. Vad händer till exempel om vi har två lika stora oändligheter och adderar 1 till den ena?

 

Båda är ju forfarande oändliga, och inget annat.

 

För att kunna säga något reellt om hur mycket större den ena är än den andra så skulle jag tro att vi först måste anta att oändligheterna är ändliga, och det strider ju mot definitionen. Svårt...

[dlinder]

Problemet är ju att oändligheten är definierad endast som oändligheten. Därför är t.ex. mängderna {alla udda heltal} och {alla heltal} lika (oändligt) stora.

 

Nej, det stämmer inte. Differensen mellan {alla heltal} och {alla udda heltal} är {alla jämna heltal}. Alltså är {alla heltal} en uppenbart större mängd, även om bägge är oändliga.

 

Däremot är {en oändlighet} + 1 = {samma oändlighet}, vad jag förstått. Kravet för att de ska vara olika stora är att de går olika snabbt mot oändligheten.

[Klyka]

Nej, det stämmer inte. Differensen mellan {alla heltal} och {alla udda heltal} är {alla jämna heltal}. Alltså är {alla heltal} en uppenbart större mängd, även om bägge är oändliga.

 

Däremot är {en oändlighet} + 1 = {samma oändlighet}, vad jag förstått. Kravet för att de ska vara olika stora är att de går olika snabbt mot oändligheten.

 

Om jag förstått Cantors teroem rätt (vilket jag inte har ), så kan man matcha upp alla element av {alla heltal} och {alla udda heltal} i par, och då ska de två oändligheterna vara lika stora... Även om det intuitivt känns som den första har fler element än den senare, så har den inte det.. Typ..

 

Rätta mig!

[boil42]

Jag tror att du har helt rätt Klyka. Både {alla heltal} och {alla udda heltal} är uppräknebart oändliga, och därför (i någon mening) lika stora. Men nu ska jag nog sluta lägga mig i saker jag inte vet nåt om utan bara läser mig till på Wikipedia ...

[dlinder]

Om jag förstått Cantors teroem rätt (vilket jag inte har ), så kan man matcha upp alla element av {alla heltal} och {alla udda heltal} i par, och då ska de två oändligheterna vara lika stora... Även om det intuitivt känns som den första har fler element än den senare, så har den inte det.. Typ..

 

Rätta mig!

 

Ja titta du har ju alldeles rätt

 

De var tydligen av samma kardinalitet ändå. Tror bestämt skolmatten är något dammig =)

[Klyka]

Men nu ska jag nog sluta lägga mig i saker jag inte vet nåt om utan bara läser mig till på Wikipedia ...

 

bah, det är så jag gör hela tiden...

[KimHartman]

Dlinders paradox är en kul nöt att knäcka. Den lyfter en del frågor. Men jag lämnar den för tillfället åt andra att resonera om, så jag inte spoilar eventuell diskussion.

 

Ska bara snabbt avslöja själva EV:t. Låt n vara antalet kronor vi hinner flippa innan vi får en klave och x vara ett godtyckligt heltal. För varje x gäller att P(n=x+1) = P(n=x) / 2, samtidigt som Vinst(n=x+1) = Vinst(n=x) * 2. Se tabell:

 

n	P(n)	Vinst	EV-bidrag

1	1/2	1	0.5
2	1/4	2	0.5
3	1/8	4	0.5
4	1/16	8	0.5
5	1/32	16	0.5
6	[...]	[...]	0.5
7	[...]	[...]	0.5

 

O.s.v. intill oändligheten... Det finns ett oändligt antal möjliga värden på n och varje möjligt värde på n bidrar med 0.5 i värde - alltså är EV:t oändligt.

 

:club:

 

Slogs av en intressant tanke. Säg att man, ist för att betala en fast summa pengar för att få spela spelet, spelar ett likartat spel för att fastställa vad man ska betala. Du flippar en krona tills det blir klave, och avgiften för att delta i dlinders spel är 2^n. Tabell:

 

n	P(n)	Fee	EF*-bidrag

1	1/2	1	0.5
2	1/4	4	1
3	1/8	8	1
4	1/16	16	1
5	1/32	32	1
6	[...]	64	1
7	[...]	[...]	1

*EF = Expected Fee

 

På samma sätt går den förväntade avgiften mot oändligheten. Den förväntade avgiften är samma som den förväntade vinsten, dvs oändlig.

 

Jag har inte riktigt räknat på det och vänt och vridit på det så mkt, men NU känns det som vi har en riktig paradox. Vad är vårt EV av detta spel?

 

En förlust är ju mer sannolik än en vinst, och oddsen är emot oss också. Men förväntad avgift och förväntad vinst är desamma??

 

Edit: Kan man resonera i termer om en oändlighet vs två oändligheter?

 

Jag vet inte om jag förstått saken rätt, men jag tror båda dina tabeller är fel. Om vi flippar klave direkt, vilket sker med 50% slh, vinner vi nada, right? Då vinner vi 1 krona med 25% slh osv. Dvs alla termer är 1/4 och inte 1/2. Vidare ska vi betala 2^n kronor för att spela. Jag tolkar n som antalet flippar fram till klave, dvs n = 0 om vi flippar klave direkt. Totalt har vi isåfall:

 

EV = SIGMA_{n=0}^{oo} ( [2^n / (2^(n+2))] - [2^n / 2^(n+1)] ) = SIGMA_{n=0}^{oo} (-1/4) "=" -oo

[DocLame]

Ja titta du har ju alldeles rätt

 

De var tydligen av samma kardinalitet ändå. Tror bestämt skolmatten är något dammig =)

 

[Klyka]

Jag vet inte om jag förstått saken rätt, men jag tror båda dina tabeller är fel. Om vi flippar klave direkt, vilket sker med 50% slh, vinner vi nada, right? Då vinner vi 1 krona med 25% slh osv. Dvs alla termer är 1/4 och inte 1/2. Vidare ska vi betala 2^n kronor för att spela. Jag tolkar n som antalet flippar fram till klave, dvs n = 0 om vi flippar klave direkt.

 

Du har helt rätt...

 

Totalt har vi isåfall:

 

EV = SIGMA_{n=0}^{oo} ( [2^n / (2^(n+2))] - [2^n / 2^(n+1)] ) = SIGMA_{n=0}^{oo} (-1/4) "=" -oo

 

Den där får du gärna översätta i ord...

 

Men utan att riktigt förstå den, så tror jag inte att den stämmer. Problemet är att du bara räknar med ett värde, n, som om vi singlade samma antal kronor både när vi avgör avgiften och vinsten. Vi måste räkna med n och x eller vad man nu vill, där n är antalet flippar fram till klave när vi avgör avgiften, och x är antalet flippar fram till klave när vi avgör vinsten.

 

Om vi räknar med att vi alltid flippar lika många gånger så räknar vi med att vi kommer att förlora varje gång, vilket dock inte är fallet.

 

Att EV:t är - (och troligen -oo) känns dock intuitivt rätt.

[KimHartman]

Du har helt rätt...

 

 

 

Den där får du gärna översätta i ord...

 

Men utan att riktigt förstå den, så tror jag inte att den stämmer. Problemet är att du bara räknar med ett värde, n, som om vi singlade samma antal kronor både när vi avgör avgiften och vinsten. Vi måste räkna med n och x eller vad man nu vill, där n är antalet flippar fram till klave när vi avgör avgiften, och x är antalet flippar fram till klave när vi avgör vinsten.

 

Om vi räknar med att vi alltid flippar lika många gånger så räknar vi med att vi kommer att förlora varje gång, vilket dock inte är fallet.

 

Att EV:t är - (och troligen -oo) känns dock intuitivt rätt.

 

 

 

Nja, jag räknar inte med ett värde för n. Med SIGMA_{n=0}^{oo} menar jag summan där n går från noll till oändligheten. EV står för förväntat värde, eller "väntevärde" på svenska. Ett väntevärde är en viktat medelvärde av en (funktion g av en) stokastisk variabel, viktad med just sannolikhetsfunktionen f, för samma stok. variabel. "Värdet" av alla möjliga utfall (som i vårt fall kommer betyda att olika värden för vinster och kostnader) ska multipliceras med sannoliheten att de inträffar, och sen ska detta sumeras. Vi kan börja med det förväntade värdet av det vi vinner genom att spela spelet:

 

Låt n vara antal kronor vi flippar innan det blir klave. Detta heltal är vår stokastiska variabel. Värdet av att spela, dvs vår funktion g av den stok. var., är g(n) = 0 för n = 0 och g(n) = 2^(n-1) för n > 0

Sannolikhetsfunktionen f(x) ger sannolikheten för det olika utfallen för n. f(n=0) = 1/2, f(n=1) = 1/4 osv. Dvs: f(n) = 1 / 2^(n+1). Här gäller SIGMA_{n=0}^{oo} [f(n)] = 1 (vilket är ett krav för en sannolikhetsfunktion)

 

Det förväntade värdet är nu:

 

EV_vinst = E[g(n)] = SIGMA_{n=0}^{oo} [f(n)g(n)] = (första termen i summan är noll då g(n=0)=0) = SIGMA_{n=1}^{oo} [f(n)g(n)] = (ändra indexering) = SIGMA_{n=0}^{oo} [f(n+1)g(n+1)] = SIGMA_{n=0}^{oo} [2^n / 2^(n+2)] = SIGMA_{n=0}^{oo} [1/4] "=" +oo

 

(Ska man vara strikt är väntevärdet inte definierat för divergent summa, därav "=")

 

På liknande sätt kommer vi finna att det förväntade värdet av kostnaden för att spela, EV_kostnad, är -oo. Dock kan vi "enkelt" räkna ut det förväntade värdet av differensen mellan vinst och kostnad eftersom de stokastiska variablerna bakom dessa processer har precis samma utfallsrum (0,1,2,..,oo).

 

EV_total = SIGMA_{n=0}^{oo} [(2^n / 2^(n+2)) - (2^n / 2^(n+1))] = SIGMA_{n=0}^{oo} [-1/4] "=" -oo

 

Även om det är inte är väldefinierat ser vi iaf att det "är" -oo.

[Klyka]

Jag är både imponerad, förvirrad och en smula klokare...

[KimHartman]

Eftersom det inte har varit ngn direkt aktivitet här på sist tiden tänkte jag lägg ut ett litet (enkelt) "problem".

 

Två geparder är ute och jagar antiloper. De smyger sig upp på två stycken, en stor och en lite mindre. Den stora har L kg kött, den mindre S kg kött, och S<L<2S. Var och en av geparderna väljer att attackera en av antiloperna utan att den andra vet vilken. Jakten lyckas alltid, men om de går på samma byte tvingas de dela på köttet. Gepardena har identiska, linjära nyttofunktioner av mängden kött de kan fånga. Hur ser en jämnviktsstrategi ut för gepardernas jakt, dvs med vilken sannolikhet ska var och en av dom satsa på den stora antilopen?

[Ignatius]

l / (l+s)

 

Edit: små och stora bokstäver blir uppfuckade ovan, ska vara L delat med summan av L och S.

[Klyka]

Nice med lite initiativ i dagboken!

 

Ignatius: Då jag är alldeles slut i roten nu efter en 10h lång turnering så nödgas jag fråga: Hur kom du fram till det?

[boil42]

l / (l+s)

 

Edit: små och stora bokstäver blir uppfuckade ovan, ska vara L delat med summan av L och S.

 

Tycker det känns intuitivt fel - om det inte är sannolikheten att de ska ge sig på den Lilla Antilopen du menar. För hur kan det vara < 50 % för SA (Stora Antilopen)? Eller är det just detta som är det Kruxiga och Skojsiga med problemet, att det intuitivt felaktiga är det som är det Rätta? Förklara gärna så att jag kan känna mig måndagsdum!

[DocLame]

Tycker det känns intuitivt fel - om det inte är sannolikheten att de ska ge sig på den Lilla Antilopen du menar. För hur kan det vara < 50 % för SA (Stora Antilopen)? Eller är det just detta som är det Kruxiga och Skojsiga med problemet, att det intuitivt felaktiga är det som är det Rätta? Förklara gärna så att jag kan känna mig måndagsdum!

 

L är ju vikten av den stora antilopen och S den lilla, så den sökta sannolikheten - kvoten L/(L+S) - blir större ju större L är i förhållande till S, och den blir marginellt större än 0,5 när L är marginellt större än S. I mina ögon är det helt logiskt.

 

Å andra sidan blir ju kvoten L/(L+S) marginellt mindre än 2/3 när L är marginellt mindre än 2S, och det är väl inte logiskt.

 

Jag är lite måndags-seg, men jag tycker spontant man borde kunna skriva den sökta sannolikheten som 1,5-S/L. EDIT: Men det tycker jag inte längre.

 

Jag antar att KimHartman från början har uttryckt det här trevliga lilla problemet i engelskspråkig form (L = large, S = small).

[DocLame]

.