Linjär algebra, linje skär plan

[back]

Måste ha hjälp med hur man ska tänka för att lista ut vart en linje skär ett plan.

 

Ex.

 

Linjen:

x=t

y=2+t

y=2-t

 

Planet:

x=1+s+t

y=-1+2s

z=s-t

 

Tack på förhand.

 

EDIT:

Och just det, hur gör man om en ekvation för en linje på formen

(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,1,0) till formen ax+by+cz+d=0? Om det överhuvudtaget går alltså.

[blackseal]

usch är det sånt här i linjär algebra? ska börja med det på måndag

[lfx]

Ska (försöka) hjälpa dig när jag lirat klart min session om ingen redan svarat.

[back]

usch är det sånt här i linjär algebra? ska börja med det på måndag

 

Exakt sånt här är det. Egentligen är inte kursen så svår, är bara det att jag inte vet hur jag ska göra med detta och har tenta imorgon. Det är ju inga avancerade uträkningar i kursen, är bara det att man måste lära sig ett nytt tankesätt och en del regler.

[fredyr]

EDIT:

Och just det, hur gör man om en ekvation för en linje på formen

(x,y,z)=(1,1,1)+t(1,1,0) till formen ax+by+cz+d=0? Om det överhuvudtaget går alltså.

Det är inte linjen du ska göra om till formen ax+by+cz+d=0 utan planet. Sedan substituerar du x,y,z mot linje-ekvationen och löser för t.

[listig]

Att ta reda på vart en linje skär ett plan är en ganska rättfram uppgift. Vi antar - helt vilt - att linjen och planet har en gemensam punkt, där de skär varandra. Det du gör är att du helt enkelt ställer upp ett ekvationssystem där du sätter koordinaterna lika med varandra parvis, och sedan löser ut parametrarnas värden för vilka detta gäller. Dvs

 

{ xlinje = xplan; ylinje = yplan; zlinje = zplan }

 

Jag antar att du kan Gauss-eliminera vid det här stadiet, och det är förslagsvis det du använder för att lösa ekvationssystemet.

 

Det finns tre lösningstyper på detta problem. Får du ett parameterberoende i svaret så ligger linjen i planet (ty skärningen blir alltså en linje, nämligen linjen själv), får du en vanlig punkt så är det skärningspunkten mellan linjen och planet, och slutligen om ekvationssystemet saknar lösning (exempelvis om 0z = 4 eller dylikt uppstår) så saknar linjen och planet skärning över huvudtaget.

 

För att omvandla planet från parameterform till affin/normal form så får du sätta upp ekvationssystemet

 

{ x = 1 + t + s; y = 1 + t + 2s; z = 1 }

 

om ditt plan motvaras av ovanstående koordinater och eliminera parametern t och s genom Gauss-elimination. Då får du tillslut en ekvation på formen ax + by + cz + d = 0.

 

Hängde du med?

[back]

Det är inte linjen du ska göra om till formen ax+by+cz+d=0 utan planet. Sedan substituerar du x,y,z mot linje-ekvationen och löser för t.

 

Kalla mig dum, men efter alldeles för många timmars ihärdigt pluggande vet jag inte hur man gör och kan inte tänka klart. Kan inte du snälla hjälpa mig?

 

Tack på förhand.

[fredyr]

Kalla mig dum, men efter alldeles för många timmars ihärdigt pluggande vet jag inte hur man gör och kan inte tänka klart. Kan inte du snälla hjälpa mig?

 

Tack på förhand.

 

Okay, jag gör ett skissartat försök föratt hjälpa dig i rätt riktning, jag kommer eg. inte ihåg alla detajler.

 

Ta först Ax + By + Cz + D = 0, denna ekvationen består av två delar. Vektorn (A,B,C) är normalen till planet, och D är konstant, avståndet ifrån origo till planet typ. Först vill vi hitta normalvektorn till planet. Detta gör vi genom att hitta tre punkter som ligger i planet, säg p1=(s,t) = (0,0), p2=(s,t)=(1,0) och p3=(s,t)=(0,1). Nu kan vi bilda två vektorer i planet, näml v1=p2-p1 och v2=p2-p1. Dessa kommer vara ortogonala. Ta vektorprodukten mellan v1 och v2, så har du normalen (A,B,C). Ta godtycklig punkt x,y,z som vi VET ligger i planet och sätt in i planekvationen för att lösa ut D.

 

Slutligen substituera in x,y,z resp ifrån linjeevaktionen in i planekvationen, och lös ut t. Klart

[back]

Att ta reda på vart en linje skär ett plan är en ganska rättfram uppgift. Vi antar - helt vilt - att linjen och planet har en gemensam punkt, där de skär varandra. Det du gör är att du helt enkelt ställer upp ett ekvationssystem där du sätter koordinaterna lika med varandra parvis, och sedan löser ut parametrarnas värden för vilka detta gäller. Dvs

 

{ xlinje = xplan; ylinje = yplan; zlinje = zplan }

 

Jag antar att du kan Gauss-eliminera vid det här stadiet, och det är förslagsvis det du använder för att lösa ekvationssystemet.

 

Det finns tre lösningstyper på detta problem. Får du ett parameterberoende i svaret så ligger linjen i planet (ty skärningen blir alltså en linje, nämligen linjen själv), får du en vanlig punkt så är det skärningspunkten mellan linjen och planet, och slutligen om ekvationssystemet saknar lösning (exempelvis om 0z = 4 eller dylikt uppstår) så saknar linjen och planet skärning över huvudtaget.

 

För att omvandla planet från parameterform till affin/normal form så får du sätta upp ekvationssystemet

 

{ x = 1 + t + s; y = 1 + t + 2s; z = 1 }

 

om ditt plan motvaras av ovanstående koordinater och eliminera parametern t och s genom Gauss-elimination. Då får du tillslut en ekvation på formen ax + by + cz + d = 0.

 

Hängde du med?

 

 

Jag hänger med på allt utom hur jag ska lyckas eliminera s och t genom Gausselimination. Jag kan inte riktigt se hur matrisen ska sättas upp. Stort tack till dig för att du tog dig tid och orkade svara på denna fråga.

[listig]

Sorry to say mate - men det är inga matriser inblandade här. Sätt bara upp ett vanligt ekvationssystem och eliminera. Vad har du för lärobok? Borde vara typ kap 1 vilken du än har.

[back]

Sorry to say mate - men det är inga matriser inblandade här. Sätt bara upp ett vanligt ekvationssystem och eliminera. Vad har du för lärobok? Borde vara typ kap 1 vilken du än har.

 

Kom just på vad du menade nu Får tacka så hemskt mycket, nu vet jag hur man ska göra! Tack till dig också fredyr. Ni är mina hjältar grabbar!

[Smygaren]

Sorry to say mate - men det är inga matriser inblandade här. Sätt bara upp ett vanligt ekvationssystem och eliminera. Vad har du för lärobok? Borde vara typ kap 1 vilken du än har.

 

Hmm. Hur brukar du lösa ekvationssystem? Redan med tre ekvationer och tre obekanta är det lämpligt att ställa upp totalmatrisen, och sedan gausseliminera.

[listig]

Hmm. Hur brukar du lösa ekvationssystem? Redan med tre ekvationer och tre obekanta är det lämpligt att ställa upp totalmatrisen, och sedan gausseliminera.

Yes, stimmt gut. Givet trådförfattarens få rader om ämnet ansåg jag inte att det var lämpligt att presentera en sådan lösning men det är det smidiga sättet när man kan eliminera hyfsat.

[Brumpa]

usch är det sånt här i linjär algebra? ska börja med det på måndag

 

Chalmers år 1? sektion?

[jackbalsam]

Chalmers år 1? sektion?

 

Ser inte kopplingen sundsvall-cahlmers riktigt.