David Sklanskys Hästparadox

[Bjorn_]

Altså hela grejen med hästparadoxen är ju som följer:

 

Vi har två typer av "spelare" med oberoende sannolikhetsfördelningar

 

A som har ett högre väntevärde men låg varians

B som har ett lägre väntevärde men hög varians

 

Om vi nu spelar ett spel där endast den med högst resultat vinner så är det ju bättre att vara av typ A, det motsatta gäller vid många spelare.

 

Det som gör att paradoxen inte är speciellt användbar i poker (i alla fall inte rakt av) är att sannolikhetsfördelningarna INTE är oberoende.

 

/Bjorn

[swedmag]

Men herregud vad folk är insnöade på hold'em... Nu har jag inte pokerhandboken, så jag vet inte om det är tänkt som ett specifikt HE exempel.

 

Ja, det är ganska svårt att göra ett liknande exempel i hold'em då händerna inte är oberoende som Hjort sade. Eftersom communitykorten(allmänningar? ) är samma för alla så kommer inte varje hand köra sitt eget race så att säga. AA t.ex. ökar bara equityövertaget ju fler som är inne för att det är så stor chans att förbättra till nötterna, som blockerar de flesta andras möjliga bästa utfall.

 

Men om vi kollar på stötpoker istället? Det borde inte vara så svårt att göra ett liknande exempel där tycker jag rent instinktivt. Händerna är mycket mer oberoende av varandra om än inte helt. Par i damer(t.ex. QQ4 rainbow) i starthanden är kanon mot en motståndare, troligtvis runt 60% showdownequity. Det spelar man gärna varje gång om man kommer headsup.

 

Jag tog dessa jobbiga draghänder som samtliga är ~58-62% dogs heads-up mot QQ4rainbow:

 

4s Qc  Qh  113264  22.65  386671  77.33   65  0.01  0.227
7c 6c  5c  149937  29.99  350028  70.01   35  0.01  0.300
Ah Jh  Th  155430  31.09  344120  68.82  450  0.09  0.311
Qs Js  Kc   80857  16.17  418668  83.73  475  0.10  0.162

 

negativt expektansvärde...

 

Tror säkert man kan dra upp nåt liknande i Omaha där AAxx är hund mot 3-4 draghänder men runt 60-65% favvis pre-flop mot var och en av dem enskilt.

[MarcusK]

 

Det är ett fall av:

 

Tänkte [...]bevisa att 7 = 5 och förhoppningsvis få en kul diskussion runt det hela.

 

6x = 4y

ändrar om lite men med samma resultat:

21x - 15x = 14y - 10y

Flyttar om lite mellan talen så jag senare kan förkorta:

21x - 15x + 15x - 14y = 14y - 14y - 10y + 15x

Gjorde ovanstående lite tydligt, så nu tar vi bort det som tar ut varandra och får:

21x - 14y = 15x - 10y

Nu bryter jag ut 7 till vänster om = tecknet och 5 till höger och får:

7(3x-2y) = 5(3x-2y)

Nu har vi samma sak på båda sidorna och delar därför med (3x-2y) på båda sidorna:

7 = 5

 

Tada jag har bevisat att 7 = 5.

 

 

Tyvärr hittar jag inget fel i uträkningen. I bilken tråd finns den, eller säg gärna var felet är som jag inte uptäcker.

[MarcusK]

Ädch..nu ser jag det. Båda sidorna blir förståss 0

[pnyxtr]

Lösningen är alltid detsamma. Otillåtet att dela med 0! Om 6x = 4y så är 3x-2y = 0.

[elvis77]

Rätt att sannolikheten sjunker, men den kommer alltid att vara högre än för varje annan enskild hand, och inte som i hästexemplet där övriga hästar/händer plötsligt har större sannolikhet än dina AA att vinna.

 

Är du säker på att AA är favorit mot alla andra upsättningar av händer på ett 10bord ?

[elvis77]

Ta detta exempel, AA klar favo mot varje enskild hand men näst sämst mot alla samtidigt.

 

equity (%) win (%) tie (%)

Hand 1: 05.5131 % 05.32% 00.19% { AcAd }

Hand 2: 12.7811 % 11.69% 01.09% { AhKh }

Hand 3: 12.7811 % 11.69% 01.09% { AsKs }

Hand 4: 16.2869 % 16.28% 00.01% { JcJd }

Hand 5: 13.4922 % 13.49% 00.01% { 9c9d }

Hand 6: 11.7184 % 11.71% 00.01% { 7c7d }

Hand 7: 09.4152 % 09.41% 00.01% { 5c5d }

Hand 8: 07.4885 % 07.48% 00.01% { 4c4d }

Hand 9: 05.9749 % 05.97% 00.01% { 3c3d }

Hand 10: 04.5487 % 04.54% 00.01% { 2c2d }

[Fido]

elvis, seriöst. Jag lovar dig att för varje exempel du kan hitta där AA tappar p å fler spelare så kan jag hitta 10 där AA tjänar.

 

Händerna i texas är inte oberoende och paradoxen fungerar INTE.

 

 

Börjar lätt med:

 

AA vs 22. Stor favorit.

AA vs 22 & 22: Säker seger

AA vs 22 & 22 & 67s & 78s & 68s & 66 & 77 & KK & KK: Säker seger.

 

Osv osv osv.

[MarcusK]

Varifrån har elvis77 hittat sin lista? Är det från någon av pokerprogrammen? Hur görs uträkningen, antas att all är med till show down?

[Fido]

Pokerstove - för att räkna på hold'em-händer

[Staahla]

Lösningen är alltid detsamma. Otillåtet att dela med 0! Om 6x = 4y så är 3x-2y = 0.

 

0! = 1

[Zoogin]

Hästparadoxen stämmer, inget snack om det.

 

Det är analogin med poker som kan bli haltande, varav den kanske har ett tveksamt pedagogiskt syfte i pokersammanhang.

 

Med elvis77s, swedmags o mitt exempel så ser man exempel på att resonnemanget i hästparadoxen GÅR att relatera till situationer i poker, INTE att man ALLTID kan göra det.

[elvis77]

elvis, seriöst. Jag lovar dig att för varje exempel du kan hitta där AA tappar p å fler spelare så kan jag hitta 10 där AA tjänar.

 

Händerna i texas är inte oberoende och paradoxen fungerar INTE.

 

 

Börjar lätt med:

 

AA vs 22. Stor favorit.

AA vs 22 & 22: Säker seger

AA vs 22 & 22 & 67s & 78s & 68s & 66 & 77 & KK & KK: Säker seger.

 

Osv osv osv.

 

Jag vet inte vad du pratar om

 

Det var detta jag svarade på.

Rätt att sannolikheten sjunker, men den kommer alltid att vara högre än för varje annan enskild hand

[Fido]

Hästparadoxen stämmer, inget snack om det.

 

Nope, men detta är givet en fundamental förutsättning: Att det är oberoende variabler.

 

Det är analogin med poker som kan bli haltande, varav den kanske har ett tveksamt pedagogiskt syfte i pokersammanhang.

 

Inte haltande, den saknar förutsättningen att det är oberoende, och är därmed helt ogiltig när det gäller poker.

 

 

Elvis: Tog din simulering som att du försökte visa att paradoxen stämmer, inte som svaret på det där påståendet.

[elvis77]

Ganska roligt att AA kan vara sämst av alla

 

Hand 1: 04.2556 % 04.04% 00.22% { AcAd }

Hand 2: 13.3073 % 11.85% 01.45% { AhKh }

Hand 3: 13.3073 % 11.85% 01.45% { AsKs }

Hand 4: 07.6270 % 07.63% 00.00% { JcTc }

Hand 5: 14.6308 % 14.63% 00.00% { 9c9d }

Hand 6: 13.7847 % 13.78% 00.00% { 8c8d }

Hand 7: 11.2203 % 11.22% 00.00% { 7c7d }

Hand 8: 08.8248 % 08.82% 00.00% { 6c6d }

Hand 9: 07.2109 % 07.21% 00.00% { 5c5d }

Hand 10: 05.8314 % 05.83% 00.00% { 4c4d }

[BEO]

Spelet är omaha.

Du har:

AS AH 8D 3D

 

De andra har:

AD KD QH JH

Ac 2C 3S 4S

TS TH 9S 9H

8S 8H 7S 7H

6S 6H 5S 5S

 

 

och är favorit (HU) mot vilken som helst av de övriga spelarna, men om alla de andra är med (hela vägen) så har du ingen (0%) chans att vinna potten.

[Zoogin]

Inte haltande, den saknar förutsättningen att det är oberoende, och är därmed helt ogiltig när det gäller poker.

Tycker inte den är helt ogiltig. Vad jag förstår så vill Sklansky säga att man i poker ibland föredrar färre motståndare, fast att man har en väldigt bra hand. Det kan ju låta konstigt för en del läsare och för att läsaren lättare ska förstå att det kan vara så så drar han upp hästparadoxen, som är förhållandevis lätt att räkna på och förstå. Poker är mycket komplexare, men förstår man hästparadoxen kan det nog hjälpa en att förstå att man ibland vill ha färre motståndare i poker med en bra hand.

 

Tror inte vi kommer så mycket längre. Hästparadoxen stämmer. Den går inte att jämföra med poker rakt av. Sen hur relevant eller inte den är för poker är väl en personlig bedömningsfråga. Over and out

[TheJack]

Missförståndet med hästparadoxen är ju just det att det är så svårt att förstå varför en häst skulle vinna till just 40% över fler än en motståndare.

 

Där håller jag med Orixan om sunt förnuft: Bästa hästen har störst chans att vinna!

 

Så är det däremot INTE inte i Texas Holdem! Bästa startkorten kommer eventuellt ha sämre chans att vinna jämfört med sämre händer, beroende på hur bra den sämre handen har att förbättra sig till nötter.

 

Ex) Hand A bättre än B, C eller D Headsup. Men har minst chans av dom alla i en multipott.

 

A. 8C 8D (24.38%)

B. 4H 5H (15.63%)

C. TS JS (27.46%)

D. KH QH (32.35%)

[MarcusK]

Ja det var en ganska intressant länk, http://www.cs.cmu.edu/People/mummert/poker/ dom du Baloos levererade. Jag får alltså justera mina starthänder då. Har ni andra gjort det också som följt Sklanskys starthandsranking?

 

Sen har jag en liten fråga. Jag är inte säker på att jag fattade tabell 4 i länken "Table 4 - Mean Rank Order of Hands". Som jag fattar det så är tex. TT 26.2:a bästa hand att ha vid River när man är två spelare kvar. Är man däremot tre spelare kvar vid River så är TT 11:e bästa hand att ha. Eller har jag fattat det helt fel. Jag inser naturligtvis att detta är i snitt och att det varierar mycket från situation till situation.

Men hur kan en drös (ca 15st.) starthänder som genomsnittligt var bättre än TT framme vid River, med två spelare, plötsligt ha blivit genomsnittligt sämre med tre spelare? Vad beror det på? Kan det bero på att tillkomsten av en tredje spelare ökar osäkerheten för de med de ca 15 starthänderna som var genomsnittligt bättre tidigare så att de nu lägger sig, medan de som sitter på TT inte skulle vara lika känsliga för det? Det kan vara att jag fått något riktigt om bakfoten här.

 

Men nu undrar jag då förståss fortfarande om det finnds någon motsvarande simulation eller statistik över vilka händer som klarar sig bäst efter floppen. Det är alltid så svårt att veta vem som träffat trissen, två-par eller par. Vissa betar med endast AXo också. Jag är ofta osäker efter floppen, speciellt vid höjningar och kontrahöjningar. Det ter sig nästan omöjligt att utläsa något av dem, åtminstone på FL0.25-0.5 som jag spelar.

Vad jag skulle behöva är någon sorts ny ranking/statistik utifrån vad man har totalt efter floppen. Denna statistik skulle då givetvis måsta vara olika beroende på ett antal typfloppar. Den skulle tex. kunna återge en genomsnittlig vinstprocent (+ avvikelse) för två mediokra par, när floppen kommer upp med två färger och tex. två kort finns i intervallet 9-Q. Även spelaraantalet skulle givetvis måsta ingå. I ett sådant läge finns risk för påde två högre par samt straight- och färg-drag.

 

Tja vad gör man tex. i sista position om det kommer upp :diamond:9, J, 6 i floppen. Själv sitter man med 6, 9, och har således tvåpar 6699 (förvisso skulle jag inte gått med på 69 men..). Av sex spelare till floppen har en höjt en annan kontrahöjt och resten foldat. Vad gör jag? Jag har inte tänkt igenom det ännu, detta var bara gripet ur luften, men min spontana reaktion är att jag lägger mig. Det är 5.1 mot 1 att få ihop till kåk och det känns som om det det jag har troligtvis inte räcker till. Det är 1,5 i potten om den som höjde innan kontrahöjningen också kommer med, själv måste jag satsa 0,3. Detta exempel blev ju allt för detaljerat för att jag skulle kunna bli hjälpt av ungefärliga typfall. Kommentera gärna detta exempel.

vad jag skulle behöva är hur som helst färdiggjorda strategier efter floppen. Finns det litteratur som behandlar det? Pokerhandboken räcker inte.

[Baloos]

Ja du har fattat det där om TT vid Rivern korrekt. Det beror på att(enligt deras simulering) så finns det en drös med händer(lite förenklat alla stora händer som inte är par, AK, KQ osv) som tappar enormt i värde för varje ny spelare medans AA->TT inte skadas nämnvärt i potter med många spelare. TT är en skakig hand mot en spelare framme vid rivern men vid fler spelare återfår TT succesivt sin styrka eftersom den(gissningsvis) får bra odds till set/kåk. Dessutom kommer många av de stora händerna låsa varandra (tänk dig extremfallet med TT mot fyra KQo).

[iremmats]

En icke namngiven kompis och medlem på forumet, vi kan kalla honom Pelle, anser att hästparadoxen inte stämmer. Jag hänvisade till posten på sida ett där lite olika sannolikheter räknas ut och sannolikheten för häst A att vinna blev 21.6%, dvs mindre än 1/4.

 

Antag nu att vi har fyra hästar som alla inbördes har 50% chans att vinna mot varandra. Var tänker han nu fel om han säger att häst A har 0.5*0.5*0.5 att vinna mot samtliga andra hästar? Detta blir ju nämligen 12.5% chans att vinna vilket gånger fyra hästar inte blir mer än 50%.

 

Det måste ju bli nåt med lite beroende variabler men exakt hur?

 

Man kan ju tänka sig ett enklare fall med tre hästar, alla med 50% chans att slå en annan häst. Hur räknar man för att få samtligas sannolikhet att vinna till 33%?

[pelle]

En icke namngiven kompis och medlem på forumet, vi kan kalla honom Pelle, anser att hästparadoxen inte stämmer.

 

Eftersom du namngett mig måste jag ju förklara mig lite... Jag satt på en pub i Malmö och drack öl när jag och några kompisar fick för oss att den inte stämmer. Orsaken var att jag inte riktigt kom ihåg formuleringen. Det jag glömde var att en av hästarna alltid springer på samma tid och inte har en varians som de andra hästarna.

Nu när hämtat mig från en aning för många Long Island Ice Tea och läst formuleringen igen håller jag med.

 

/Pelle

[SaInT]

En icke namngiven kompis och medlem på forumet, vi kan kalla honom Pelle, anser att hästparadoxen inte stämmer. Jag hänvisade till posten på sida ett där lite olika sannolikheter räknas ut och sannolikheten för häst A att vinna blev 21.6%, dvs mindre än 1/4.

 

Antag nu att vi har fyra hästar som alla inbördes har 50% chans att vinna mot varandra. Var tänker han nu fel om han säger att häst A har 0.5*0.5*0.5 att vinna mot samtliga andra hästar? Detta blir ju nämligen 12.5% chans att vinna vilket gånger fyra hästar inte blir mer än 50%.

 

Det måste ju bli nåt med lite beroende variabler men exakt hur?

 

Man kan ju tänka sig ett enklare fall med tre hästar, alla med 50% chans att slå en annan häst. Hur räknar man för att få samtligas sannolikhet att vinna till 33%?

 

Låt oss säga att häst A, B och C vinner precis lika mycket. Häst A har då 50% chans att individuellt slå häst B; men när han vinner över häst B har han inte längre 50% att slå häst C utan denna siffra blir då högre. Därav kan man inte räkna 0.5x0.5 för att se varje enskild hästs vinstchans.

 

De möjliga utfallen är följande:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

 

I de fall A>B är A>C två gånger och C>A en gång. Vilket inenbär att chansen att A vinner är 0.5x0.67 = 0.33, vilket är det förväntade värdet.

[lallaren]

Varför inte anta en fördelning (t.ex normalfördelning eller vad man nu tycker är en lämplig fördelning) för de tre hästarna med hög varians, och sedan använda

FZ(z)=[F(z)]^n

Där F(z) är fördelningsfunktionen för den individuella hästen, och n är antalet hästar, för att få fram en fördelningsfunktion, FZ(z) för högsta värdet av dessa likafördelade variabler. När detta är gjort så är det bara att utifrån denna fördelning bestämma sannolikheten att Z överstiger det fixa värde som den pålitliga hästen representerar.

Så skulle jag göra i alla fall.