Talteori problem

[mr-flow]

Skulle vara kul om någon hade någon idé på dessa uppgifter. gärna någon som har ett humm om talteori

 

1. Visa att mängden av alla ändliga mängder av positiva hela tal är uppräknelig

 

2. Man definierar en relation R på Z (mängden av hela tal) genom nRm ger 5|(n^2-m^2)

Visa att det är en ekvivalensrelation samt bestäm ekvivalensklasserna.

 

Upp till bevis

 

Edit: Om någon sätter sig ner och funderar får den gärna skriva det så kan jag checka in här lite senare.

[Matfrid]

Skulle vara kul om någon hade någon idé på dessa uppgifter. gärna någon som har ett humm om talteori

 

1. Visa att mängden av alla ändliga mängder av positiva hela tal är uppräknelig

 

2. Man definierar en relation R på Z (mängden av hela tal) genom nRm ger 5|(n^2-m^2)

Visa att det är en ekvivalensrelation samt bestäm ekvivalensklasserna.

 

Upp till bevis

 

1) Induktivt bevis. Jag börjar med att räkna upp några stycken

ett och två

två och tre

ett, två och tre.

Därefter drar jag via induktion slutsatsen att man kan räkna upp dom. Prova själv med några stycken

[mr-flow]

1) Induktivt bevis. Jag börjar med att räkna upp några stycken

ett och två

två och tre

ett, två och tre.

Därefter drar jag via induktion slutsatsen att man kan räkna upp dom. Prova själv med några stycken

 

Skulle du inte kunna skriva upp någon uträkning?

[lost]

Inte för att jag kan besvara din fråga men erfarenheten säger att du får fler och bättre svar om du själv visar att du har försökt så att folk inte tror att du bara kräver en lösning.

[Klyka]

Detta låter intressant. Några tips på var jag kan läsa på för att förstå vad ni pratar om?

[kontsevich]

Skulle vara kul om någon hade någon idé på dessa uppgifter. gärna någon som har ett humm om talteori

 

1. Visa att mängden av alla ändliga mängder av positiva hela tal är uppräknelig

 

2. Man definierar en relation R på Z (mängden av hela tal) genom nRm ger 5|(n^2-m^2)

Visa att det är en ekvivalensrelation samt bestäm ekvivalensklasserna.

 

Upp till bevis

 

Edit: Om någon sätter sig ner och funderar får den gärna skriva det så kan jag checka in här lite senare.

 

1. Genom att införa ngn lämplig ordning på mängder av samma kardinalitet blir det klart att mängden av alla mängder av en fixt kardinalitet är uppräkningsbar. Så vi har alltså en uppräkningsbar union av uppräkningsbara mängder, låt M_i^j vara en mängd där j är mängdens kardinalitet och i är ett naturligt heltal som representerar dess plats i ordningen av mängder av kardinalitet j. Vi kan nu ordna alla M_i^j t ex som M_1^1,M_2^1,M_1^2,M_1^3,M_2^2,M_3^1,M_4^1.....osv (skriv ut M_i^j som en matris så ser du).

 

2. Om nRm så har vi mRn trivialt. Likaså har att nRn då 5|0. Slutligen om nRm och mRk, dvs 5|(n^2-m^2) och 5|(m^2-k^2), så har vi att nRk ty 5|((n^2-m^2)+(m^2-k^2)) dvs 5|(n^2-k^2).

 

1. var kanske lite oklar, du får säga till om du fastnar.

[strater]

luktar starkt identiska uppgifter som i ens egen diskmatte, var dock ett tag sen så nej tack mmm, ekvivalensekvationer!

[mr-flow]

1. Genom att införa ngn lämplig ordning på mängder av samma kardinalitet blir det klart att mängden av alla mängder av en fixt kardinalitet är uppräkningsbar. Så vi har alltså en uppräkningsbar union av uppräkningsbara mängder, låt M_i^j vara en mängd där j är mängdens kardinalitet och i är ett naturligt heltal som representerar dess plats i ordningen av mängder av kardinalitet j. Vi kan nu ordna alla M_i^j t ex som M_1^1,M_2^1,M_1^2,M_1^3,M_2^2,M_3^1,M_4^1.....osv (skriv ut M_i^j som en matris så ser du).

 

2. Om nRm så har vi mRn trivialt. Likaså har att nRn då 5|0. Slutligen om nRm och mRk, dvs 5|(n^2-m^2) och 5|(m^2-k^2), så har vi att nRk ty 5|((n^2-m^2)+(m^2-k^2)) dvs 5|(n^2-k^2).

 

1. var kanske lite oklar, du får säga till om du fastnar.

Tack, 2an ser alldelles utmärkt ut!

Dock så förstod jag inte riktigt ettan. Jag vet att vi har gått igenom hur man "parar ihop" mängder av samma kardinalitet, men tyvärr kommer jag inte ihåg hur det såg ut. Det jag inte riktigt förstår här är väl att du ändrar mängdens kardinalitet till 2,3,4 osv? (Och vad är understrecket? )

[honest99]

Skulle vara kul om någon hade någon idé på dessa uppgifter. gärna någon som har ett humm om talteori

 

1. Visa att mängden av alla ändliga mängder av positiva hela tal är uppräknelig

 

2. Man definierar en relation R på Z (mängden av hela tal) genom nRm ger 5|(n^2-m^2)

Visa att det är en ekvivalensrelation samt bestäm ekvivalensklasserna.

 

Upp till bevis

 

Edit: Om någon sätter sig ner och funderar får den gärna skriva det så kan jag checka in här lite senare.

 

Läs lite om Fermat. Mycket underhållande! Jag älskar talteori. Induktion är nästan jämnt den bästa vägen. Anta att det gäller för n. visa då för n+1. Egentligen bör man även visa för n+2 av någon anledning. Ha ett basfall och färdigt. Här behövs nog inte induktion. Har dessutom för mig att Fermat brukade göra en konstig variant av n - 1 istället för + 1. jaja.

[Matfrid]

Skulle du inte kunna skriva upp någon uträkning?

 

Jag skojade bara. Med samma form av induktion kan man bevisa att alla udda tal är primtal.

[kontsevich]

Tack, 2an ser alldelles utmärkt ut!

Dock så förstod jag inte riktigt ettan. Jag vet att vi har gått igenom hur man "parar ihop" mängder av samma kardinalitet, men tyvärr kommer jag inte ihåg hur det såg ut. Det jag inte riktigt förstår här är väl att du ändrar mängdens kardinalitet till 2,3,4 osv? (Och vad är understrecket? )

 

Ok, det blir lite brute-force varning över lösningen men det kan lätt bli så när man tar första bästa . Med tanke på uppgift 2 så finns det säkert en mycket kortare o smidigare lösning som du kanske borde leta efter. Ni kanske har satser eller andra uppgifter som kan användas.

 

Att lösa ett sådant här problem är egentligen bara att arrangera om dom så att du kan räkna upp dom, t ex dom naturliga talen 1, 2, 3, 4 ... osv i motsats till dom reella talen (vilket reellt tal kommer efter 2 t ex?). Så den spontana iden var att det iaf är lättare att hitta ngn ordning av mängder som är av samma kardinalitet (mängderna här var ändliga så kardinaliteterna är 1, 2, 3, 4, 5... osv).

 

Så vi behöver en ordning på mängder av samma kardinalitet. Låt a=(a_1, a_2, .. , a_n) och b=(b_1, b_2, .. , b_n) vara två mänder av naturliga tal av kardinalitet n. Låt max(a) vara det största talet av alla a_i och på samma sätt med max(b).

 

1. Om max(a) < max(b) så är a<b och om max(a)>max(b) så är a>b.

2. Om max(a)=max(b) så är a<b om (antalet a_i = max(a))< (antalet b_i = max(b)) och motsvarande för a>b.

 

Om (antalet a_i = max(a))=(antalet b_i=max(b)) då max(a)=max(b) så genomför vi steg 1-2 fast för dom näst största talen i a resp b (detta terminerar eftersom vi har mängder av naturliga tal).

Vi har alltså exempelvis (1,1,2,2,2,3) < (1,2,2,2,2,3), (1,2,3)<(1,2,4), (2,2)<(1,3) osv med denna ordning. Om nu A är en godtycklig mängd av naturliga tal med kardinalitet k så har A en placering j, med avseende på våran ordning, bland alla sådana mängder av samma kardinalitet. Vi betecknar alltså A som A_(kj) där k och j är enligt ovan.

 

Vi har alltså indexerat alla ändliga mängder av naturliga tal, vi behöver bara ett sätt att räkna upp dom för att visa att dom är uppräkneliga. Om man ritar upp A_(kj) som en matris så får vi en sån uppräkning som A_(11), A_(12), A_(21), A_(31), A_(22), A_(13), A_(14), A_(23)......osv där alltså A_(11)=(1), A_(12)=(2), A_(21)=(1, 1), A_(31)=(1, 1, 1), A_(22)=(1, 2).. osv.

 

Matrisen ser alltså ut som:

 

(1) (2) (3) (4) ...

(1, 1) (1, 2) (2, 2) (1, 3) ...

(1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 2) (2, 2, 2) ...

. . . .

. . . .

 

ok lite bökigt kanske (men det funkar iaf).

Uppräkningen genomförs alltså genom att du slingrar dig fram i matrisen med början i mängden (1).

[mr-flow]

Detta låter intressant. Några tips på var jag kan läsa på för att förstå vad ni pratar om?

 

Jag har faktist ingen aning om litteratur men det finns kurser att gå på ångströms, 7.5 poäng är den jag går. För visst bodde du i uppsala?

[Klyka]

Jag har faktist ingen aning om litteratur men det finns kurser att gå på ångströms, 7.5 poäng är den jag går. För visst bodde du i uppsala?

 

Javisst gör jag det. Är det nån kurs man kan ta utan tidigare högskoleutbildning i matematik (matte D på gymnasiet som högst) och som kan gå att kombinera med jobb?

[mr-flow]

Ok, det blir lite brute-force varning över lösningen men det kan lätt bli så när man tar första bästa . Med tanke på uppgift 2 så finns det säkert en mycket kortare o smidigare lösning som du kanske borde leta efter. Ni kanske har satser eller andra uppgifter som kan användas.

 

Att lösa ett sådant här problem är egentligen bara att arrangera om dom så att du kan räkna upp dom, t ex dom naturliga talen 1, 2, 3, 4 ... osv i motsats till dom reella talen (vilket reellt tal kommer efter 2 t ex?). Så den spontana iden var att det iaf är lättare att hitta ngn ordning av mängder som är av samma kardinalitet (mängderna här var ändliga så kardinaliteterna är 1, 2, 3, 4, 5... osv).

 

Så vi behöver en ordning på mängder av samma kardinalitet. Låt a=(a_1, a_2, .. , a_n) och b=(b_1, b_2, .. , b_n) vara två mänder av naturliga tal av kardinalitet n. Låt max(a) vara det största talet av alla a_i och på samma sätt med max(b).

 

1. Om max(a) < max(b) så är a<b och om max(a)>max(b) så är a>b.

2. Om max(a)=max(b) så är a<b om (antalet a_i = max(a))< (antalet b_i = max(b)) och motsvarande för a>b.

 

Om (antalet a_i = max(a))=(antalet b_i=max(b)) då max(a)=max(b) så genomför vi steg 1-2 fast för dom näst största talen i a resp b (detta terminerar eftersom vi har mängder av naturliga tal).

Vi har alltså exempelvis (1,1,2,2,2,3) < (1,2,2,2,2,3), (1,2,3)<(1,2,4), (2,2)<(1,3) osv med denna ordning. Om nu A är en godtycklig mängd av naturliga tal med kardinalitet k så har A en placering j, med avseende på våran ordning, bland alla sådana mängder av samma kardinalitet. Vi betecknar alltså A som A_(kj) där k och j är enligt ovan.

 

Vi har alltså indexerat alla ändliga mängder av naturliga tal, vi behöver bara ett sätt att räkna upp dom för att visa att dom är uppräkneliga. Om man ritar upp A_(kj) som en matris så får vi en sån uppräkning som A_(11), A_(12), A_(21), A_(31), A_(22), A_(13), A_(14), A_(23)......osv där alltså A_(11)=(1), A_(12)=(2), A_(21)=(1, 1), A_(31)=(1, 1, 1), A_(22)=(1, 2).. osv.

 

Matrisen ser alltså ut som:

 

(1) (2) (3) (4) ...

(1, 1) (1, 2) (2, 2) (1, 3) ...

(1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 2) (2, 2, 2) ...

. . . .

. . . .

 

ok lite bökigt kanske (men det funkar iaf).

Uppräkningen genomförs alltså genom att du slingrar dig fram i matrisen med början i mängden (1).

 

Tack än en gång, trevligt att du fanns till

[mr-flow]

Javisst gör jag det. Är det nån kurs man kan ta utan tidigare högskoleutbildning i matematik (matte D på gymnasiet som högst) och som kan gå att kombinera med jobb?

 

Jag går på gymnasiet fortfarande men den som typ sidokurs, för skolan har ordnat så att vi får läsa varje onsdag 15.15 till 17.00. Annars är det bara en tenta på en lördag framöver. Vet inte riktigt hur det är men han andra kurser för "riktiga" studenter som han har snackat om, har ingen koll på tider och sånt.. borde inte vara några problem att inte ha läst matte E heller, vad jag förstår det som (eftersom jag inte avslutat den )

 

Vet inte om du fick fram nått vettigt, men jag kan i alla fall säga att jag tycker det är intressant då det känns som nyttig matte, mer nyttig än intergraler och sånt.

[Klyka]

mm, låter klart intressant och som en kurs jag skulle kunna tänkas klämma in i schemat. Har länge gått i dylika tankar.

 

Ty!