Matteproblem (sannolikhet)

[okocha]

Har en inlämningsuppgift som jag inte har riktig koll på, tänkte att jag kanske skulle kunna få lite hjälp.

 

En tärningstillverkningsmaskin har fått fnatt så att den på vardera sida målar en av siffrorna 1 – 6 på måfå (varje siffra är lika sannolik). För en tärning producerad på detta sätt beräkna sannolikheten att:

 

(a) ett kast resulterar i en 6:a.

(b) två kast resulterar i två sexor.

 

Min spontana tanke var att jag slår en feltillverkad tärning, och beräknar därefter sannolikheten att maskinen har tryckt en 6:a på just den sidan som tärningen visar, vilket givetvis är 1/6.

 

En klasskompis hävdade att jag jag inte hade tagit hänsyn till betingade sannolikheten och att det skulle vara 1/7 chans att det skulle bli en 6:a, men han kunde inte bevisa det. Den sammanlagda sannnolikheten för {1,2,3,4,5,6} borde ju då också bli 6/7?

 

Vad är rätt? Tala gärna om varför det är rätt också.

[Hume]

Du har rätt, din kompis har fel. Själva tärningsslaget blir meningslöst, du har alltså gjort rätt som förenklar bort det.

[Hjort]

För första fallet så är det ju 1/6.

 

För det andra fallet så vet vi ju att det är betydligt enklare än vanligt att få två sexor i de fall där det över huvud taget går att få sexor. Vet inte riktigt om det uppvägs av att det ibland inte förekommer några sexor alls ibland (1-(5/6)**6), eftersom det skulle innebära att jag var tvungen att räkna. Gissar på att fallen med 0 sexor på tärningen sänker sannolikheten tillräckligt mycket för att kompensera för fallen med fler sexor.

[eurythmech]

Andra fallet är 1/36, rätt trivialt.

 

De enda sidor på tärningarna som är av relevans är de sidor som är vända uppåt.

Båda dessa är en sexa med 1/6 sannolikhet.

[Hjort]

De enda sidor på tärningarna som är av relevans är de sidor som är vända uppåt.

Well, det är ju samma tärning man slår med två gånger. Så det blir lite rörigare än så eftersom kasten inte är oberoende.

 

Skulle man exempelvis fråga efter sannolikheten att slå en sexa exakt en gång med två kast skulle det ju bli off eftersom tärningarna som har en sexa över huvud taget snittar mer än en sexa.

[hampulito]

Andra fallet är 1/36, rätt trivialt.

 

De enda sidor på tärningarna som är av relevans är de sidor som är vända uppåt.

Båda dessa är en sexa med 1/6 sannolikhet.

 

Jepp.

[okocha]

Tack för alla svar!

 

Well, det är ju samma tärning man slår med två gånger. Så det blir lite rörigare än så eftersom kasten inte är oberoende.

 

Skulle man exempelvis fråga efter sannolikheten att slå en sexa exakt en gång med två kast skulle det ju bli off eftersom tärningarna som har en sexa över huvud taget snittar mer än en sexa.

Om svaret på a blir 1/6 (det verkar vi överens om) så vore ju det logiska att det blir (1/6)^2 dvs 1/36. Att det skulle bli något annat känns konstigt, hur skulle man isåfall räkna ut det? Falluppdelning på antalet sexor?

[Hjort]

Om svaret på a blir 1/6 (det verkar vi överens om) så vore ju det logiska att det blir (1/6)^2 dvs 1/36.

Alltså kasten är ju inte oberoende så det är ju inte en ok formel att använda.

 

Falluppdelning på antalet sexor?

Nej, då skulle ni aldrig fått uppgiften.

 

Att radda upp alla fall tar svinlång tid och är jätteinelegant. Gissningsvis har ni fått en lösningsmetod för beroende fall under kursen.

 

Troligen en formel som ser ut något i stil med P(A I B) = P(A + B) *

eller något sånt. Alltså hitta en beviskedja som förklarar varför det beroende fallet är identiskt, eller inte, med det oberoende genom lite grundläggande sannolikhetsaxiom.

 

Jag skulle bli rätt förvånad om svaret innehöll särskilt många referenser till 1/6 och liknande. Och jag är villig att sätta pengar på att "1/36" inte duger som svar.

 

Möjligen skulle det kunna vara så att man tittar på hur tärningarna med olika antal sexor fördelas med hjälp av binominalgrejen och snittar sannolikheten för två sexor för alla fall. Men det känns också lite osnyggt.

 

* Don't judge me.

[schoolbook]

Falluppdelning på antal 6:or ger P(0 sexor)*0+P(en sexa)*(1/36)+P(två sexor)*(4/36)+...+P(sex sexor)*1=6*(5/6)**5*(1/6)*(1/36)+15*(5/6)**4*(1/6)**2*(4/36)+20*(5/6)**3*(1/6)**3*(9/36)+15*(5/6)**2*(1/6)**4*(16/36)+6*(5/6)*(1/6)**5*(25/36)+1*(1/6)**6*1

 

** står för upphöjt till

 

Sannolikheten att jag sedan räknat rätt på detta i hastigheten är väl inte överväldigande men jag fick i alla fall 0.051, alltså mer än 1/36. Att det blir mer beror på att sannolikheten ej är oberoende. Om man ej vet hur många sexor man har på tärningen ökar väntevärdet av antalet sexor när man slår första sexan och därmed finns en positiv korrelation mellan de två tärningsslagen.

 

Stämmer att metoden är inelegant, snyggare bör finnas.

[Nidson]

Falluppdelning på antalet sexor?

Det känns som att det ligger närmast till hands. Då får du ett gäng fall där sannolikheten för två sexor varierar mellan 0, 1/36, 1/9, 1/4, 2/3, 25/36 och 1.

[schoolbook]

Den som tror att svaret "trivialt" är 1/36 och (förståeligt) tycker det är för jobbigt attkontrollräkna kan ju tänka igenom det analoga fallet med en tvåsidig "tärning" med bara 0 eller 1 på bägge sidorna med vardera sannolikheten 0.5.

[Hjort]

Nu var jag lite dum.

 

Kommer fortfarande inte ihåg hur man löser sånt här, men det är ju alltid smart att titta på ett principexempel för att se om man har en rimlig lösning. Tittar man istället på hur det ser ut för en tvåsidig tärning (med två nummer) så blir sannolikheten för två tvåor (0+1/4+1/4+1)/4=.375 istället för .25. Alltså kan vi sluta oss till att sannolikheten för två sexor inte är 1/36.

 

Fråga mig inte hur man löser det elegant, men nu gissar jag på att det har med binominalförenkling att göra.

 

Den som tror att svaret "trivialt" är 1/36 och (förståeligt) tycker det är för jobbigt attkontrollräkna kan ju tänka igenom det analoga fallet med en tvåsidig "tärning" med bara 0 eller 1 på bägge sidorna med vardera sannolikheten 0.5.

Damn you.

[Akumila]

Andra fallet är 1/36, rätt trivialt.

 

De enda sidor på tärningarna som är av relevans är de sidor som är vända uppåt.

Båda dessa är en sexa med 1/6 sannolikhet.

 

Inte så trivialt. Chansen att den första man slår är en 6:a är såklart 1/6. Chansen att man får upp samma sida på nästa slag är 1/6. Chansen att man får upp en annan sida är 5/6, och chansen att denna i sin tur är en 6:a är 1/6.

 

Svaret på b blir alltså 1/6 * (1/6 + 5/6 * 1/6) = 11/216

[Nidson]

Du räknar fel Hjort, det blir visst 25% för två tvåor.

[schoolbook]

Inte så trivialt. Chansen att den första man slår är en 6:a är såklart 1/6. Chansen att man får upp samma sida på nästa slag är 1/6. Chansen att man får upp en annan sida är 5/6, och chansen att denna i sin tur är en 6:a är 1/6.

 

Svaret på b blir alltså 1/6 * (1/6 + 5/6 * 1/6) = 11/216

 

Där satt den.

 

Blir 0.051, jag räknade faktiskt rätt även om det som så ofta hade varit bättre att tänka innan jag räknade.

[Hjort]

Du räknar fel Hjort, det blir visst 25% för två tvåor.

Två fall där tärningen har en tvåa, 1 fall där den har ingen tvåa och 1 där den har två tvåor. (0+1/4+1/4+1)/4.

 

Vad har jag missat?

[okocha]

Falluppdelning på antal 6:or ger P(0 sexor)*0+P(en sexa)*(1/36)+P(två sexor)*(4/36)+...+P(sex sexor)*1=6*(5/6)**5*(1/6)*(1/36)+15*(5/6)**4*(1/6)**2*(4/36)+ 20*(5/6)**3*(1/6)**3*(9/36)+15*(5/6)**2*(1/6)**4*(16/36)+6*(5/6)*(1/6)**5*(25/36)+1*(1/6)**6*1

 

** står för upphöjt till

 

Sannolikheten att jag sedan räknat rätt på detta i hastigheten är väl inte överväldigande men jag fick i alla fall 0.051, alltså mer än 1/36. Att det blir mer beror på att sannolikheten ej är oberoende. Om man ej vet hur många sexor man har på tärningen ökar väntevärdet av antalet sexor när man slår första sexan och därmed finns en positiv korrelation mellan de två tärningsslagen.

 

Stämmer att metoden är inelegant, snyggare bör finnas.

 

Inte så trivialt. Chansen att den första man slår är en 6:a är såklart 1/6. Chansen att man får upp samma sida på nästa slag är 1/6. Chansen att man får upp en annan sida är 5/6, och chansen att denna i sin tur är en 6:a är 1/6.

 

Svaret på b blir alltså 1/6 * (1/6 + 5/6 * 1/6) = 11/216

 

Ni får samma svar med olika lösningsmetoder, antar att det är rätt, Akumilas lösning är riktigt snygg dessutom. Tack alla engagerade

[Akumila]

Där satt den.

 

Blir 0.051, jag räknade faktiskt rätt även om det som så ofta hade varit bättre att tänka innan jag räknade.

 

hehe. jag gjorde själv likadant först, men kom på att det var ganska konstigt om a-uppgiften hade följts av en uppgift som inte gick att resonera sig fram till på liknande sätt.

[Nidson]

Två fall där tärningen har en tvåa, 1 fall där den har ingen tvåa och 1 där den har två tvåor. (0+1/4+1/4+1)/4.

 

Vad har jag missat?

 

Inget, jag som tänkte fel. (sexbordsgrind å fotbollsgala går inte ihop med att outsmarta dig )

[eurythmech]

Sjukt, tänkte att det var två tärningar.

Måste sluta stressläsa genom inlägg.