Snabb mattefråga, envariabel

[lost]

Hur kan jag visa att följande summa är konvergent?

 

Summan av 1/((e^n) -1)

summagränser är n = 1 till oändligheten

 

Jag tänkte använda Cauchys integralkriterium och beräkna den generaliserande integralen men jag har svårt att hitta en primitiv funktion till denna (försökt med subsititutionen e^n = t).

 

Kanske något jämförelsetest?

 

Något tips?

[lfx]

Borde väl gå att klämma in integralen

 

/inf

| 1

| --------- dx

| e^x - 1

/1

 

mellan över- och undersumman till 1/(e^x-1) va? Integralen kan du ju räkna genom att sätta

e^x = t

Detta ger dt = e^x*dx <=> dt/t = dx

Detta ger

 

/inf

| 1

| --------- dt

| ( t - 1 )* t

/e

 

Partialbråksuppdelning ger

 

/inf

| 1

| --------- - 1/t dt

| ( t - 1 )

/e

 

= [ln(t-1) - ln(t)] = [ln(1-1/t)]

[fredyr]

Din substitution är rätt, d/dt ln(t-1) = 1 / (t-1), så den vägen borde vara framkomlig.

[Brumpa]

ingen som vill lära mig envariabelkursen?? har tenta i det om 4 veckor..

[lost]

tack för snabba svaren!!

 

ser varför jag inte kom fram till nåt, slarvade med p.uppdelningen.

 

1 / [t(t-1)] = A/t + B/(t-1) = A(t-1) + B(t) = At - A + Bt = t(A+B) - A = 1

 

dvs:

 

A + B = 0 (här hade jag skrivit A + B = 1 och A = 0 men det ska givetvis vara A + B = 0 och - A = 1)

[lost]

vidare har vi att:

 

X

[ln(n-1) - ln n] =

e

 

X

ln [(n-1) / (n)] =

e

 

ln [X-1/X] - ln (e-1) där X går mot oändligheten.

 

ser dock inte hur denna kan konvergera, alltså jag ser inte hur jag ska tolka följande gränsvärde..

[Ost]

ln [X-1/X] - ln (e-1) där X går mot oändligheten.

 

ser dock inte hur denna kan konvergera, alltså jag ser inte hur jag ska tolka följande gränsvärde..

Om det är dina integraler du har skrivit ovan så ska det väl stå:

 

ln(1 - 1/x) - ln (1 - 1/e)

 

Som ju konvergerar mot just ln(1 - 1/e) = ca 0.459 när x -> oo.

[chapman]

Något tips?

 

Du kan ju alltid höra på http://www.pluggakuten.se, de brukar ge bra svar(inget ont om pf)