Ett matteproblem

[gdaily]

Jag sitter på tunnelbanan, det är två hållplatser kvar på linjen, och i det snabbare tåget efter mig sitter en galen Dan Glimne som efetr att jag hånat hans analyser en gång för mycket bestämts sig för att mörda mig.

 

Jag kan välja vilken av hållplatserna jag ska stiga av på.

 

* Väljer jag den närmaste, och Dan också hoppar av på den närmaste, så mördar han mig med sannolikheten Q

 

* Väljer jag den närmaste, och Dan väljer den bortre, så kommer jag undan med livet i behåll

 

* Väljer jag den bortre och Dan väljer den bortre, så mördar han mig med sannolikheten Q/2

 

*Väljer jag den bortre, och Dan den närmare, så hinner han hoppa på tåget igen med sannolikheten P, och komma ikapp mig och mörda mig med sannolikheten Q/2

 

Vad är optimala spelet för båda spelarna?

 

Om det inte går att lösa generellt, sätt Q=100%

(Ni som undrar vad det här gör i poker, tänk "bluff, turn och river"

[fredyr]

Oohh, den här härliga klassikern. Sherlock Holmes äger.

[mike82]

.

[Snusarn]

nä föresten. hold.

[gdaily]

Oohh, den här härliga klassikern. Sherlock Holmes äger.

 

Japp, men i nytt utförande, så Sherlock räcker inte som svar

[gdaily]

Om du vill öka chansen att bli mördad så lyssna på mig..går du av vid första så är chansen att dö 50%, vid andra så är den 25-50%.

 

Sant för stora Q. Men för små Q då?

[Looseweak]

Är det 50/50 vilken station han hoppar av på?

[cazacu]

chansen att du dör är Cos(pi-e^x) + n * 2 pi

[Hobbyfascisten]

Tjaba!

 

För att jag ska hitta en utgångsstrategi så måste jag utgå ifrån att Dan hoppar av 50/50 vid första och andra hållplatsen.

 

När jag väl hittat en optimal strategi så kommer Dans bästa strategi vara att hoppa av på hållplatserna lika ofta som jag gör.

 

Därför om det vore 80% att bli mördad på 1an och 40% på 2an så skulle jag hoppa av på 1an en tredjedel av gångerna (då förhållandet är 2:1 i risk).

 

Sannolikhet för att bli mördad på första hållplatsen är Q/2

Sannolikhet för att bli mördad på andra hållplatsen är (PQ+Q)/4

(här förutsätter jag att Dan ännu väljer hållplats helt slumpmässigt)

 

Om sannolikheten att bli mördad på 1an kallas A och 2an B så ska man hoppa av på A så här ofta:

 

B / (A+B)

 

Så nu blir formeln så här:

 

((PQ+Q)/4) / ( (Q/2) + ((PQ+Q)/4))

 

En förenkling ger:

 

(P+1) / (P+3)

 

Tihi, resultatet verkar vara samma oberoende av Q

 

 

Dan tar då och optimerar sitt resultat genom att föra statistik över hur ofta jag hoppar av på hållplatserna och själv följa samma sannolikhet.

 

 

Nu har jag hoppat över några steg i bevisföringen och är inte hundra på mitt resultat, men det känns rätt och ger vettiga resultat när jag testade det 2 gånger.

[fredyr]

Dan väljer alltid den närmaste, och Ola den bortre.

 

Edit1: Ignorera det här. Läsglasögonen var visst inte på.

Edit2: Nu får jag 0.5(1-P)-mot-1 i odds (Bortre 0.5(1-P)ggr mot Närmre 1 gång). I spelteori får man aldrig något rätt första(2a,3e,...) gången

[p0k3rk1ng]

Bäst är för dig är ju tvåan, då slipper du bli mördad.

Bäst för Glimne är ju ettan, då har han störst chans att mörda dig.

 

Tycker frågan är sådär utformad

[mariani]

Bäst är för dig är ju tvåan, då slipper du bli mördad.

Bäst för Glimne är ju ettan, då har han störst chans att mörda dig.

 

Tycker frågan är sådär utformad

Läs om läs rätt. Sedan försök dig på räkningen...

[swalc]

En optimal strategi är den som klarar sig bäst mot alla tänkbara motståndarstrategier. Det optimala spelet får väl antas vara då både Dan och Ola använder optimala strategier.

 

En strategi är i detta fall på formen: "Gå av vid närmaste stationen med sannolikhet x". Uppgiften är att komma fram till det optimala värdet på x, dels för Ola och dels för Dan.

 

Vi beräknar detta värde för Ola. Vi låter Dans strategi vara att gå av vid närmaste stationen med sannolikhet y och Ola gör detsamma med sannolikhet x. Det finns fyra olika utfall:

 

1) Båda går av vid närmaste. Ola blir mördad med sannolikhet Q. Sannolikhet för detta fall är xy.

 

2) Ola närmaste, Dan bortre. Ola klarar sig. Sannolikhet för detta fall är (1-y)x.

 

3) Ola bortre, Dan närmaste. Ola blir mördad med sannolikhet PQ/2. Sannolikhet för detta fall är (1-x)y.

 

4) Båda bortre. Ola blir mördad med sannolikhet Q/2. Sannolikhet för detta fall är (1-x)(1-y).

 

Totala sannolikheten för att Ola blir mördad är alltså

 

M(x,y) = Qxy + PQ/2*(1-x)y + Q/2*(1-x)(1-y)

 

Genom att lösa argmin_x{ max_y {M(x,y)}} får man ut optimala x.

 

I detta fall kan vi lösa detta genom att hitta det x som gör att valet av y ej påverkar sannolikheten för att Ola blir mördad. Detta hittar man genom att derivera M(x,y) med avseende på y och sätta x så att denna derivata blir 0. Derivatan är:

 

dM(x,y)/dy = Qx + PQ/2*(1-x) - Q/2*(1-x)

 

dvs (om derivatan ska vara 0):

 

Qx + PQ/2*(1-x) - Q/2*(1-x) = 0

x(Q - PQ/2 + Q/2) = Q/2 - PQ/2

x(3/2 - P/2) = (1-P)/2 (dela med Q)

x = (1-P)/(3-P)

 

Alltså är Olas optimala strategi att med sannolikhet (1-P)/(3-P) välja att gå av vid första stationen.

 

På samma sätt kan man räkna ut Dans optimala strategi men det överlåter jag till någon annan.

[schoolbook]

Ett annat sätt att uttrycka det på: för optimal strategi skall det inte spela någon roll vad motståndaren gör. På detta sätt kan man komma fram till (1-p)/(3-p) ovan. För att räkna ut Dans optimala strategi antar vi att han väljer närmaste med sannolikhet d och bortre med sannolikhet 1-d.

Sannolikhet för gdailydöd blir då om gdaily väljer närmaste alternativet Q*d och om han väljer det bortre Q*(1-d)/2+P*Q*d/2. Dessa skall vara lika för optimal strategi, vi får alltså

 

Qd=Q(1-d)/2+PQd/2

 

d(3/2-P/2)=1/2

 

d=1/(3-P).

 

Trevligt problem, mycket underhållande bilder man kan frammana också

av en mordgalen Glimne (vad är mordvapnet? Kniv föreslår jag).

[Looseweak]

Detta ska man väl inte har problem med att förstå om man läser Matte D? :'(

[Mauau]

Vad är mordvapnet? Kniv föreslår jag.

 

Jag tror att Dan är anti teknik och nytt tänkande så jag tror att han skulle välja telefonsladd att använda som strypsnara. Detta skulle kanske även förklara varför man får kvävningskänslor av att lyssna på honom, man förnimmer vissa signaler.

[gdaily]

http://www.poker.se/nyhet.php?artid=879

 

Ett inlägg i debatten

[Vitae]

Fan vad ni babblar och krånglar till det? Är jag bara korkad eller löses inte problemet med enkel algebra?

 

Station bortre för Gdaily fick jag det till. Danne borde semibluffa och hoppa av vid den närmre.

[Mauau]

Fan vad ni babblar och krånglar till det?

 

Ja, det är sant. Alla vet ju att Dan mördar genom att öppninsglimpa på knappen.

[fredyr]

Alltså är Olas optimala strategi att med sannolikhet (1-P)/(3-P) välja att gå av vid första stationen.

 

Edit2: Nu får jag 0.5(1-P)-mot-1 i odds (Bortre 0.5(1-P)ggr mot Närmre 1 gång).

 

Förenklar man 1 / (1+0.5(1-P)) så blir det 2 / (3-P) för Bortre och (1-P)/(3-P) för Närmre, så jag instämmer i din lösning, jag löste dock mha spelmatrisen

 

         Ola

         N    B
Dan   N [ Q   PQ/2 ] 
     B [ 0    Q/2 ] 

 

Att hitta lösningen ifrån ett 2x2-spel är näml ganska lätt, man tar bara rad1-rad2 och kvoten mellan absolutbeloppet av elementen i resultatet blir odds-fördelningen för Olas strategi. Dvs:

 

-(PQ/2 - Q/2) / (Q-0) = 0.5(1-P)

[Klyka]

Mkt intressant. Nån som har bra förslag till nätresurser där man kan läsa mer om likartade lösningar av 2*2-spel och annat relaterat?

[fredyr]

Mkt intressant. Nån som har bra förslag till nätresurser där man kan läsa mer om likartade lösningar av 2*2-spel och annat relaterat?

 

Ja i denna tråd finns lite, http://pokerforum.nu/forum/viewtopic.php?t=34097

[eurythmech]

Detta ska man väl inte har problem med att förstå om man läser Matte D? :'(

 

Ingår spelteori och flervariabelanalys i MaD numer?

[Goose_strike]

Detta ska man väl inte har problem med att förstå om man läser Matte D? :'(

 

Ingår spelteori och flervariabelanalys i MaD numer?

 

 

Har just last klart matte D, och har nu suttit ett bra tag for att losa problemet men klarar inte att losa den sjalv. Har inte stott pa sanna har frager i kursen. men det finns likheter. skulle nog kunna losa den om jag verkligen tog mig tid. Men detta or nog mer avancerat an kurs D men kan ha fel.

[Grinder22]

sitt kvar på tåget