Liten teoriövning, vinst vid optimalt spel?

[Callahan]

Här är en liten fråga som jag sitter och funderar lite på just nu. Den handlar om FLT men med tanke på de skruvade förutsättningarna så tycker jag den här hemma i allmän pokerteori. Jag har kommit en bit på vägen och har en ungefärlig uppfattning om var vi hamnar, men har inget färdigt svar. Jag är lite nyfiken på vad ni tror svaret är, hur ni tänker och huruvida ni har några idéer om genvägar till en ungefärlig lösning.

 

Problem: Vi spelar headsup FLT mot en ren synmaskin. Synmaskinen checkar och synar alla gator oavsett hand. Blindstrukturen är den vanliga men det spelar ingen roll hur stor lilla mörken är eller vem som har den för ingen kommer att lägga sig före flopp och position har ingen betydelse. Båda dessa påståenden torde vara uppenbara även när vi har lilla mörken. Ungefär hur mycket tjänar vi per hand i genomsnitt, räknat i big bets, om vi spelar optimalt?

 

* Lite RP - QoS *

[Bjorn_]

Blindstrukturen är den vanliga men det spelar ingen roll hur stor lilla mörken är eller vem som har den för ingen kommer att lägga sig före flopp och position har ingen betydelse. Båda dessa påståenden torde vara uppenbara även när vi har lilla mörken.

 

Ville bara påpeka att om man låter SB/BB -> 0 kommer man någonstans till en punkt där optimalt spel för SB inte längre är att spela alla sina händer. (Denna punkt lär dock vara mycket lägre än SB/BB = ½.)

 

/Bjorn

[Callahan]

Blindstrukturen är den vanliga men det spelar ingen roll hur stor lilla mörken är eller vem som har den för ingen kommer att lägga sig före flopp och position har ingen betydelse. Båda dessa påståenden torde vara uppenbara även när vi har lilla mörken.

 

Ville bara påpeka att om man låter SB/BB -> 0 kommer man någonstans till en punkt där optimalt spel för SB inte längre är att spela alla sina händer. (Denna punkt lär dock vara mycket lägre än SB/BB = ½.)

 

/Bjorn

 

Som förutsättningarna är gör det faktiskt inget ens om SB=0. Vi synar i alla fall. Även med 32o på handen så har vi 32% equity, så vi förlorar bara ca 0,18 BB på att syna. Det borde vi rimligen ta igen på senare gator.

[Bjorn_]

Som förutsättningarna är gör det faktiskt inget ens om SB=0. Vi synar i alla fall. Även med 32o på handen så har vi 32% equity, så vi förlorar bara ca 0,18 BB på att syna. Det borde vi rimligen ta igen på senare gator.

 

Det är jag långt ifrån säker på. Oftast kommer 32o fortsätta vara underdog handen igenom och därmed bara gå plus minus noll på resterande gator.

 

Faktum är att jag är skeptisk till att vår totala snittvinst (med alla händer) är så vansinnigt mycket högre än 0,18BB.

 

/Bjorn

[Callahan]

Som förutsättningarna är gör det faktiskt inget ens om SB=0. Vi synar i alla fall. Även med 32o på handen så har vi 32% equity, så vi förlorar bara ca 0,18 BB på att syna. Det borde vi rimligen ta igen på senare gator.

 

Det är jag långt ifrån säker på. Oftast kommer 32o fortsätta vara underdog handen igenom och därmed bara gå plus minus noll på resterande gator.

 

Faktum är att jag är skeptisk till att vår totala snittvinst (med alla händer) är så vansinnigt mycket högre än 0,18BB.

 

/Bjorn

 

OK, you got me. För väldigt små SB och de allra sämsta händerna är det inte uppenbart.

[Baloos]

Skulle nog slänga upp lite antaganden om vad vi betar med och sen simulera.

 

Typ, par på floppen, toppar på turn och river.

 

Känns helt omöjligt att beräkna exakt.

 

Det borde gå att få fram ett väldigt bra närmevärde om vi använder oss av naturligt urval i simuleringen, helst uppdelat efter alla händer.

 

*Så vi börjar med att lägga upp massor av krav för att beta på alla gator.

 

A-hög, par, tvåpar etc

 

*Permuterar alla startkrav.

*Simulera alla permutationer med alla händer mot fi's slumpmässiga hand.

 

Som bonus får vi ut en mattematiskt optimal strategi mot slumpmässig hand för alla Texashänder.

 

Bara till å bygga ett stoooort Linux-kluster

[gdaily]

Som bonus får vi ut en mattematiskt optimal strategi mot slumpmässig hand för alla Texashänder.

 

Nepp, det får vi inte. Vi får en optimal strategi mot sämsta idioten till motståndare. Inte riktigt samma sak.

[JollyTime]

 

Vi får en optimal strategi mot sämsta idioten till motståndare. Inte riktigt samma sak.

 

 

Dagens roligaste kommentar, klockren!

 

Intressant projekt ni håller på med förresten...precis såna grejor jag brukade sysselsätta mig med istället för de grymt viktiga sakerna man hade att göra i plugget. Har ni tentor som hägrar eller?

[lethe]

Typ, par på floppen, toppar på turn och river.

 

Jag är inte säker på vad vinsten i långa loppet blir, men jag är helt säker på att om du inte betar sämre händer än topparet på turn/river så lämnar du pengar på bordet mot vår fiktive motståndare.

[Bjorn_]

Altså för varje given hand (för hjälten) samt varje given flop, turn och river kan man ju enkelt med t.ex. pokerstove räkna ut optimal strategi.

 

Efterssom fi läcker absolut noll och ingen info så bettar vi på varje gata där vår hand är en equitymässig favorit mot en slumpmässig hand annars checkar vi.

 

Det jobbiga är ju bara att enumerera igenom alla zillionerna kombinationer av starthänder och brädor.

 

/Bjorn

[Callahan]

Om jag tänkt rätt så förhåller det sig så här:

 

Som Bjorn_ påpekat betar man på en gata när man har mer än 50% equity. Varje gata kan behandlas separat. Position, pottodds mm har ingen betydelse. Frågan är då bara hur ofta man är favorit på respektive gata och hur stor favorit man då i medel är. För mig är det ganska klart att man är favorit i handen ungefär hälfen av gångerna på respektive gata, så därför betar man varje gata ca 50% av gångerna.

 

För att ta fram EV måste man veta hur stor favorit man är i medel när man är favorit. Där är river enklast. Vår bet som favoriter blir alltid synad och vår hand står 3/4 av gångerna (när vi inte betar står handen bara 1/4 av gångerna). EV på river blir alltså ca 0,5 * (0,75 * 2 - 1) BB = 0,25 BB.

 

Före flopp är också enkelt. Vi höjer med Q5o och bättre. Equity för alla händer mot en slumphand kan man slå upp i tabell och sedan kan man ta medel för alla händer Q5o+. Gissningvis får man då att man kommer att vinna ca 58% av gångerna efter höjning före flopp, dvs EV ~ 0,5 * (0,58 - 0,5) BB = 0,04 BB.

 

Flopp och turn är mycket klurigare, men det är klart att värdet vi kan få på respektive gata är högre än på föregående gata. En simulering jag gjorde gav att man är grovt räknat 70% favorit i medel på turn när man betar, så EV ~ 0,5 * (0,7 * 2 - 1) = 0,2 BB. Istället för att försöka luska ut vad det blir på flopp gör jag bara en höftning och säger att man är 64% favorit där i medel, så EV ~ 0,07 BB.

 

Sammanlagt får vi allstå att vi vinner drygt en halv BB per hand i medel. Vad ska man då med den här tramset till? Inte mycket, men det blir ju genast mer jordnära om vi säger att fi synar på flopp/turn/river med 80% av händerna eller något, och principen att beta när man har equity edge mot synmaskinens HD gäller ju fortfarande då.

 

Förresten, Bjorn_, jag tog en koll på hur mycket 32o vinner efter flopp. 32o kan bara beta med stor fördel när handen träffar tvåpar (utan par på bordet) eller bättre, vilket sker ca 12% av gångerna på river. De gångerna är emellertid 32o stor favorit så handen drar nästan 0,1 BB på river bara på detta. Dessutom kan handen beta tex 369QQ och lite andra obskyra bord. Handen tjänar mindre på flopp och turn men det borde kunna blir en liten bit över 0,18 BB till slut.

[Baloos]

Snyggt! Men det här förutsätter optimalt spel som i "jag kan se min motståndares hålkort"?

[Callahan]

Snyggt! Men det här förutsätter optimalt spel som i "jag kan se min motståndares hålkort"?

 

Nej, optimalt spel mot en slumpmässig okänd hand. Om jag hade kunnat se min motståndares hand så skulle jag kunna beta hälften av gångerna på river och alltid vinna, och således vinna en halv bet per hand bara på den gatan.

[Baloos]

Ok, pollentan trilla ner nu. F-n irriterande vackert.

 

Så du har lägre favoritskap än 75% (100+50/2) på turn än på river pga lite klonkaregenskaper hos fi. Bara lite intresserad av hur du lyckades simulera fram 70?

[Callahan]

Så du har lägre favoritskap än 75% (100+50/2) på turn än på river pga lite klonkaregenskaper hos fi.

 

Ja. Precis som före flopp så gör ju "utdragningsfaktorn" att händer ligger närmare varandra i värde tidigare i handen.

 

Bara lite intresserad av hur du lyckades simulera fram 70?

 

I simuleringen gjorde jag 10000 samplingar på en slumpmässig hand för mig, ett slumpmässigt bord (4 kort), och sedan räknade jag upp alla kombinationer av motståndarkort och rivrar, notarade hur ofta man är favorit och tog medelvärdet på hur stor favorit man var. Det kom ut att man var favorit 47% av gångerna med en fördel på 71% i medel dessa gånger. Hur det ligger till med osäkerheten i detta eller om man kanske är favorit lite mindre än 50% gick jag inte vidare med. Så 70% är en väldigt rund siffra, men det låter ju rimlig i alla fall i mina öron.

[Bjorn_]

Frågan är då bara hur ofta man är favorit på respektive gata och hur stor favorit man då i medel är. För mig är det ganska klart att man är favorit i handen ungefär hälfen av gångerna på respektive gata, så därför betar man varje gata ca 50% av gångerna.

 

"Med risk för att vara en nitpicker"

 

Det är långt ifrån uppenbart att man är favorit i 50% av händerna på flop, turn och river. Faktum är att det är väl troligare att man är favorit i färre händer än så men att man i dom händer man är favorit är större favorit än vad man är underdog när man ligger efter. (Din simulering verkar ju antyda detta också.)

 

Vet dock inte om detta egentligen har någon större betydelse för resultatet, antagligen är ditt sätt att räkna en mycket god approximation.

 

/Bjorn

[Baloos]

Räknar du med splitpotter nu Bjorn?

 

Annars bygger ju Callahans beräkningar inte på att man är favorit när man betar utan att man betar de 50% bästa situationerna.

 

Typ, vi slår tärning och jag betar 4,5, 6 och du synar alla bet.

 

Edit: Eller vänta nu, är det så du räknar? Tycker det verkar som att du betar de 47% av gångerna då du är favorit och då blir det samma sak som att du vet motståndarens hålkort.

 

kan du förklara det här uttrycket så klarnar nog det sista.

EV ~ 0,5 * (0,7 * 2 - 1) = 0,2 BB

[Callahan]

Frågan är då bara hur ofta man är favorit på respektive gata och hur stor favorit man då i medel är. För mig är det ganska klart att man är favorit i handen ungefär hälfen av gångerna på respektive gata, så därför betar man varje gata ca 50% av gångerna.

 

"Med risk för att vara en nitpicker"

 

Det är långt ifrån uppenbart att man är favorit i 50% av händerna på flop, turn och river. Faktum är att det är väl troligare att man är favorit i färre händer än så men att man i dom händer man är favorit är större favorit än vad man är underdog när man ligger efter. (Din simulering verkar ju antyda detta också.)

 

Vet dock inte om detta egentligen har någon större betydelse för resultatet, antagligen är ditt sätt att räkna en mycket god approximation.

 

/Bjorn

 

Observera min formulering "ungefär hälfen". Före lopp stämmer det nästan exakt. På river är det antagligen lite mindre än 50% i snitt. Fi har en likformig HD över 990 möjliga händer. Jag betar när jag kan slå nr 495. Enda gångerna detta inte fungerar vad jag kan förstå är när det bordet kommer så att det blir split väldigt ofta, tex om det kommer en färdig stege.

 

Stämmer det före flopp och på river så vore det väl apa om det inte stämde på flopp/turn.

[Bjorn_]

Frågan är då bara hur ofta man är favorit på respektive gata och hur stor favorit man då i medel är. För mig är det ganska klart att man är favorit i handen ungefär hälfen av gångerna på respektive gata, så därför betar man varje gata ca 50% av gångerna.

 

"Med risk för att vara en nitpicker"

 

Det är långt ifrån uppenbart att man är favorit i 50% av händerna på flop, turn och river. Faktum är att det är väl troligare att man är favorit i färre händer än så men att man i dom händer man är favorit är större favorit än vad man är underdog när man ligger efter. (Din simulering verkar ju antyda detta också.)

 

Vet dock inte om detta egentligen har någon större betydelse för resultatet, antagligen är ditt sätt att räkna en mycket god approximation.

 

/Bjorn

 

Observera min formulering "ungefär hälfen". Före lopp stämmer det nästan exakt. På river är det antagligen lite mindre än 50% i snitt. Fi har en likformig HD över 990 möjliga händer. Jag betar när jag kan slå nr 495. Enda gångerna detta inte fungerar vad jag kan förstå är när det bordet kommer så att det blir split väldigt ofta, tex om det kommer en färdig stege.

 

Stämmer det före flopp och på river så vore det väl apa om det inte stämde på flopp/turn.

 

Jag tänkte mer i banorna att när du träffar floppen är du ofta signifikantare favorit än du är underdog om du missar.

 

Det är ju generellt så i hold'em att du oftare missar floppen än träffar. Man kan ju också anta att i nästan alla fall kommer din equity öka om man träffar floppen och minska om du missar den.

 

Medelvärdet av F(i) * E(i) där F(i) är frekvensen för en viss flopp och E(i) är din equity för just denna flopp måste ju om man tar det över alla möjliga floppar i bli samma som din equity preflop.

 

Men jag är kanske ute och snurrar... (Eller bara jävligt dålig på att förklara hur jag tänker.)

 

Dock stämmer det säkert med "ungefär hälften", det är säkert en fullt relevant approximation givet modellens enkelhet.

 

/Bjorn

[Baloos]

Jag tänkte mer i banorna att när du träffar floppen är du ofta signifikantare favorit än du är underdog om du missar.

 

Men han betar ju inte bara när han träffar utan alla gånger han förväntas vara favorit mot en slumpmässig hand.

 

När jag tänker på det, borde det inte gälla att förtjänsten per hand på alla enskilda gator blir.

 

Förväntat andel bästa händer mot en slumpmässig (47%) * (sannolikheten att dina 47% är bäst på River mot en slumpmässig - 0.5) * betstorlek

[Callahan]

Jag tänkte mer i banorna att när du träffar floppen är du ofta signifikantare favorit än du är underdog om du missar.

 

Det är ju generellt så i hold'em att du oftare missar floppen än träffar. Man kan ju också anta att i nästan alla fall kommer din equity öka om man träffar floppen och minska om du missar den.

 

Du kan ha en poäng här, men någon spelare måste ju vara favorit på flopp. Det finns ingen anledning att det skulle vara fi oftare än du eller vice versa. Det är i och för sig inte samma sak att vara favorit som att vara "favorit till att vara favorit" som är vad vi är ute efter. Å andra sidan, om vi bara kan beta 45% av gångerna så gör det nästan ingen skillnad för nästan allt värde kommer från när vi betar som klara favoriter. På så sätt är modellen ganska förlåtande tror jag.

[Klyka]

Jag tänkte mer i banorna att när du träffar floppen är du ofta signifikantare favorit än du är underdog om du missar.

 

Det är ju generellt så i hold'em att du oftare missar floppen än träffar. Man kan ju också anta att i nästan alla fall kommer din equity öka om man träffar floppen och minska om du missar den.

Men det beror ju på om din motspelare träffar eller missar...

 

Det handlar ju inte om huruvida du får en bra hand eller ej, utan om den är bättre eller sämre än din motspelares slumpmässiga hand.

[Callahan]

När jag tänker på det, borde det inte gälla att förtjänsten per hand på alla enskilda gator blir.

 

Förväntat andel bästa händer mot en slumpmässig (47%) * (sannolikheten att dina 47% är bäst på River mot en slumpmässig - 0.5)

 

Jo, och det är precis enligt den modellen jag har räknat också.

[Baloos]

Ok, då ska jag inte tjafsa mer, det var bara att jag tolkade...

 

Det kom ut att man var favorit 47% av gångerna med en fördel på 71% i medel dessa gånger.

 

Som att 71% kom från hur stort favoritskap man har när man är favorit.

 

I själva verket blir det de 47 procentens equity mot en ny slumpmässig hand som ska simuleras.

 

Men nu pratar vi nog bara om varandra.

[Myssion]

Jag måste erkänna att jag inte alls fattade frågeställnigen först...

 

"Vadå spela mot en symaskin??"