David Sklanskys Hästparadox

[MarcusK]

I pokerhandboken återger Dan Glimne följande exempel. I nedan citerade stycke har jag ändrat motståndarhästarnas beteckning från A,B och C till B, C och D eftersom jag vill kalla din häst A.

 

........"Antag att du äger en kapplöpningshäst, A,som är säkerheten själv: den springer alltid i mål på X minuter och Y sekunder. Tiden är bra men inte i toppklass. Mot din häst ställer nu häst B upp. B är är en ojämn häst som ibland presterar topptider, men som generellt är sämre än din. Din häst vinner 60% av loppen mot B, och förlorar 40%. Oddsen är alltså 3 mot 2 till din hästs fördel.

Nu tillkommer häst C. Av en händelse är C precis lika ojämn som B, dvs. den förlorar också 60% av loppen mot din häst och vinner 40%.

Vad är då chansen att din häst slår både B och C i samma lopp? Den är 36%. Enkel sannolikhetsberämning ger 0.6x0.6=0.36. B och C som ju är lika dåliga kommer att dela jämnt på de övriga segrarna, dvs.32% var.

 

Nu tillkommer häst D. Även han är av en händelse precis lika ojämn som A och B. Vad är då chansen att din häst slår både B, C och D i samma lopp? Den är 0.6 x 0.6 x 0.6 = 0.216, dvs. 21.6%. B, C och D kommer att dela jämnt på de övriga segrarna, dvs. cirka 26% var. Och häri ligger paradoxen: trots att din häst är genomsnittligt bästa på bana och är individuell favorit gentemot alla de övriga tre, har den nu lägre vinstchans än de övriga. Tillkomsten av ännu en motståndare, trots att den är en underlägsen sådan, förvandlade alltså din häst från favorit till den som har minst chans att vinna. Du skulle tjäna mer på att satsa på någon av de sämre hästarna än din egen. (Däremot kommer din häst att vara tvåa oftare än de andra, så ett platsvad på den skulle löna sig).

 

Vad är då anknytningen till poker? Jo, det ges som bekant ingen medalj för att komma tvåa i poker. Tvärtom är det i regel så att den som har den näst bästa handen brukar förlora mer än någon annan......"

 

Nja, den sista meningen är säkert riktig men hästparadoxen som sådan är enligt mina funderingar helt felaktig. Om man tex gör samma sannolikhetsberäkning för att häst B vinner så blir det så här:

 

0.4 x 0.5 x 0.5 = 0.1, dvs. 10%.

 

Alltså inte 26% som pokerteoretikern David Sklansky påstår. Men även denna siffra är fel.

Det går inte att räkna "och-sannolikheten" för en häst för att sedan låta de andra dela på återstoden av procenten. Jag har inte kunnat lista ut hur man matematiskt beräknar detta . Jag försökte bla. på så sätt att jag arrangerade ABCD i alla de ordningsföljder (24 st.) de kan placeras, sedan beräkna "och-sannolikhet" var varje variant och sedan summera. Men det blev fel. Jag kommer aldrig till sammanlagt 100% hur jag än försker med manipulera. Trots att jag håller mig som ganska kunnig i sannnolikhetslära så är detta ett typfall jag inte klarar.

 

Därför bestämde jag mig för att försöka med någon sorts "ap-metod". Jag grupperade de olika ordningsföljderna och lät dem förekomma i olika frekvens så att det sammanlagda resultatet blev att A vinner i 60% av fallen mot såväl B, C som D. Samtidigt skall B, C och D vinna lika mycket mot varandra, eftersom de ju är lika bra. Det visade sig inte vara så svårt att få ihop det. Här nedan är den något ojämna tabellen. Den består alltså av 60st lodräta ordningsföljder. Som synes är ordningsföljderna upprepade 3 st vardera för placering 1-3 för A. För placering 4 för A finns bara 1st för varje ordningsföljdsvariant.

 

 

AAA AAA AAA AAA AAA AAA     BBB BBB CCC CCC DDD DDD
BBB BBB CCC CCC DDD DDD     AAA AAA AAA AAA AAA AAA
CCC DDD BBB DDD BBB CCC     CCC DDD BBB DDD BBB CCC
DCC CCC DDD BBB CCC BBB     DDD CCC DDD BBB CCC BBB

BBB BBB CCC CCC DDD DDD     B B C C D D
CCC DDD BBB DDD BBB CCC     C D B D C B
AAA AAA AAA AAA AAA AAA     D C D B B C
DDD CCC DDD BBB CCC BBB     A A A A A A

 

Med denna fördelning stämmer villkoren att A vinner i 60% av fallen mot vardera B, C och D, samtidigt som B,C och D drar dött lopp sinsemellan. Det visar sig att A vinner i 18/60 fall, dvs. 30% av fallen. B, C och D vinner vardera i 12/60 fall, dvs 20%.

 

Även om jag är nöjd med att ha löst fallet (för det har jag väl) så skulle jag gärna se att någon förklarade hur man räknar ut det matematiskt.

 

Vad som också förvånar mig är att sådana villfarelser som hästparadoxen härjar bland pokerns auktoriteter.

[Maple]

Jag är åtminstone 99% säker på exemplet är helt korrekt. Din sannolikhetsbedömning med 0.4*0.5*0.5 stämmer inte eftersom om häst B slår häst A så är det inte längre 50% chans att den slår häst C utan betydligt större (borde vara 80% om jag inte tänker fel då det är 40% chans att häst C slår häst A och i hälften av dessa fall bör häst C vara snabbare än häst B).

[cab19]

*puh*

 

Får nog försöka mig på denna på dagtid istället.

[MarcusK]

Det är frågan om om jag inte får krypa tillbaka i det här fallet. Jag har vacklat fram och tillbaka om Maples resonemang. Enligt det resonemanget borde väl om A slår B då också sannolikheten öka för att A slår C. Då det är 50% chans att C slår B och i 40% av dessa fall bör C vara snabbare än A så blir C snabbare än A i endast (0.4 x 0.5 = ) 20% av fall fallen.

 

Alltså Om A slår B så ökar också sannolikheten för att A slår C på samma sätt som om B slår A så ökar sannolikheten för att B slår C.

 

Fast vid närmare eftertabke så är inte detta är samma sak heller. När jag tänker att A har en fast nivå som inte varierar utan det är endast B, C och D som varierar så förändras faktiskt inte A:s möjlighet att slå C fastän A slår B. Resultatet är helt upp till B,C och D.

 

När jag gjorde upp serien med ordningsföljderna och hittade ett sätt att få villkoren att gå ihop, dvs. att A vinner mot B i 60% av fallen, precis som mot C och D, samtidigt som B,C och D drar jämnt, så trodde jag att det var det enda möjliga.

Vad jag borde göra är att se om jag kan göra en serie med ordningsföljder som uppfyller villkoret när A faktiskt vinner i 21.6% av fallen också. Men det blir nog svårt eftersom B, C och D då kommer att vinna 26.13333..% av fallen vardera.

Då har jag i stället provat göra om varianten med 3 hästar. Då var min ursprungliga serie så här:

 

A A A A B B C C B C
B B C C A A A A C B
C C B B C C B B A A

 

dvs. 40% av fallen vinner A och B reesp. C vinner i 30% av fallen. Enligt Sklanskys beräkning skulle A vinna 0.6x0.6 = 36% av fallen.

 

Det går nog att göra en serie med ordningsföljder så att det uppfylls också.

A     A    B     C    B    C
B     C    A     A    C    B
C     B    C     B    A    A

18   18   12    12   20   20

 

Här har jag nu gjort en serie med ordningsföljder och skrivit hur många gånger de uppträder per 100 fall. Här blir resultatet att A vinner i 36 fall av 100 och B och C vinner i 32 fall vardera. Precis som Sklansky sa. Det går nog säkert att göra samma sak med 4 hästars alternativet och få de siffror som Sklansky gav men det blir för jobbigt.

 

Det är bara att inse att jag stack ut hakan för tidigt....Men jag tror fortfarande att Sklanskys siffror gäller endast om man utgår ifrån att A håller en konstant nivå. Om man bara säger att A vinner mot B, C resp. D i 60% av fallen så stämmer inte Sklanskys siffror. Man måste beakta den lilla detalj som jag inte insåg vidden av, att A:s nivå är konstant, för att det skall bli som Sklansky säger.

 

Fortfarande är jag dock osäker på hur man skall täkna ut ett fall där alla hästars form varierar och där A vinner 60% mot B, C resp. D samt jämnt skägg mellan B, C och D. Kan någon reda ut det?

[Torsus]

Det är tidig måndag morgon och jag har inte dykt ner i matematiken men jag tycker mig se att man med ett enkelt resonemang kan se att de ursprungliga beräkningarna stämmer.

 

Kalkylerna tar bara hänsyn till häst A vinstchanser.

 

Häst B:s vinstchanser är betydelselösa, liksom häst C och D

 

Du skrev så här:

Om man tex gör samma sannolikhetsberäkning för att häst B vinner så blir det så här:

 

0.4 x 0.5 x 0.5 = 0.1, dvs. 10%.

 

Men häst B:s VINSTCHANSER är oviktigt. Det viktiga är HANS CHANSER ATT SLÅ HÄST A. I många fall Vinner häst B över A men kommer tvåa eller trea i loppet.

 

Sedan tycker jag i och för sig att jämförelsen - av andra orsaker - är haltande eftersom man måste ta hänsyn till HUR MYCKET MAN VINNER.

 

Ta i poker handen AA. Det är 80% chans att vinna den handen mot en motståndare. Ju fler som är med, desto mindre vinstchans. Men här kommer det viktiga: Anta att hela bordet är med, då VINNER MAN JU SÅ MYCKET MER NÄR MAN VÄL VINNER. I varje fall om vi talar om FL.

 

Så jag oroar mig inte så mycket för om flera går med på mitt AA. Vinstchansen minskar ja, men som sagt jag får ju saftigt betalt NÄR jag vinner...

[Fido]

Det viktigaste är ju att man är medveten om att chansen att bli slagen är mycket större - men den känslan kommer nog intiutivt för de flesta.

 

Skulle man spela ett cashgame där alla går AI alla händer, och du får AA varje gång så finns det ingen anledning att tacka nej - även om din vinstprocent hade varit högre med bara HU-potter. I långa loppet är ju andelen potter vunna ganska oviktigt, när det bara är de stora som räknas!

 

Se bara på hur många megaidioter lyckas ganska bra. Vissa av dem ser (FL) nästan alla floppar, men kan ändå gå rejält plus! Varför? Jo, om de bara har disciplin nog att folda all skit så kommer de förlora tonvis med små potter och vinna många jättestora! Visst, vinstprocenten suger, men resultatet kan fortfarande vara bra. (Givet korta stunder och mycket flyt! )

 

 

Edit:

Dessutom: Försök hitta den handkombination som uppfyller exemplet! Jag påstår (utan större säkerhet ) att om du har 60% mot tre andra händer, så kommer du ha störst equity. Givetvis kan du välja ett annat procent-förhållande, men jag tror att det ändå kommer bli svårt att hitta ett fall där deras händer inte tar ut varandra. För att ligga nära 60-40 t.ex, så behövs en hand som A2 vs K5. "Två kort i hålet". Men lägger du till ytterligare två händer som har 40% mot A2, t.ex Q4 och T6 så får du en equity på 28% ändå... Som sagt, tar det ur luften, men tror att i många fall där du är individuell favorit mot ett par händer, så kommer du ofta ha störst equity, just för att det inte finns tillräckligt med kombinationer där de inte begränsar varandra.

[dr noob]

Text

 

Jag tror att du tolkar herr Sklansky lite väl bokstavligt. Han ger ett exempel. Meningen är inte att du ska finna exakt motsvarande situation i poker.

 

Exempel:

 

Du: K:spade:8:spade:

FI1: A:spade:2:spade:

FI2: 8:heart:8:club:

 

(massa betting)

 

Flop: 8:diamond:7:spade:3:spade:

Potten är 300BB

Din stack är 1BB

 

FI1: bettar 100000BB

FI2: synar och är ALL-IN

Du: foldar (*edit: Du foldar för att du inte får tillräckligt bra odds att dra på två kungar)

 

Skulle du däremot vara uppe mot en, vilken som helst, av dina motspelare är synen på floppen given. Även om du har 200BB kvar i stacken.

 

(edit 3: lite siffror och kort)

[MarcusK]

Ta i poker handen AA. Det är 80% chans att vinna den handen mot en motståndare. Ju fler som är med, desto mindre vinstchans. Men här kommer det viktiga: Anta att hela bordet är med, då VINNER MAN JU SÅ MYCKET MER NÄR MAN VÄL VINNER. I varje fall om vi talar om FL.

Är det 80% chans så där bara om man ställer ut alla kort på bordet eller är det 80% chans i verkligt spel, dvs. en erfarenhetsmässig siffra? Finns det erfarenhetsnässiga tabeller för hur ofta man vinner med vissa utgångshänder i tex. tight, medel eller löst spel och tex. 6, 8 eller 10-mannappoker. Finns det även dylika för hur det ser ut efter floppen?

 

Jag har själv försökt att med kortlek kallköra litet, försökt simulera halvlöst spel med ca 6st till floppen, ca 3 till turn och 2 till river. Allt beroende på korten förståss, men med strävan att söka det medeltalet. Det är dock väldigt drygt. Jag undrar alltså om det finns färdigt gjort? Kan tillägga att resultatet av mina handgjorda simuleringar har givit mindre samtidiga bra händer som slutresultat än vad det verkar vara i nätpoker (pokerroom).

 

Tex. har jag fått till resultat att tretal, med par på bordet, ger vinst i 85% av fallen. Tretal med par på hand ger vinst i 67% av fallen. 2-par med utan par vare sig på hand eller bord ger vinst i 90% av fallen medan 2-par med ett par på hand och ett på bord ger vinst i 33% av fallen. Detta är alltså händer efter flopp i jämförelse med händer efter River. Jag har inte tagit i beaktande att man kan betta ut, utan bara hur händerna utvecklas tom. rivern med det ovan beskrivna bortfallet av händer.

 

Hur tycker ni att dessa siffror ser ut? Finns de färdiggjorda nånstans?

[Baloos]

Kanske att den här länken kan intressera dig Marcus. Dem har gjort en jädrans massa simuleringar för FLT fullbord för att kontrollera Sklanskys gruppindelinng av händer. Det är väl inget superspeciellt men de slog iaf fast att höga pocketpar inte tappar i värde i stora potter som många människor fortfarande tror. (När du höjer med AA, KK så höjer du för värde och inte för att isolera dig mot draghänder)

 

http://www.cs.cmu.edu/People/mummert/poker/

[Zoogin]

Orkade inte läsa alla inlägg helt och hållet, men klart hästparadoxen stämmer. Jag postade en flervägshand här för ett tag sen som berör det, http://pokerforum.nu/forum/viewtopic.php?t=16632. Kolla där jag ger exempel på pot equity under 25%. Om fi hade suttit med de händerna jag valde för exemplet hade jag varit enskild favorit mot var och en av dom, men ändå inte varit favorit om alla följt med.

[Rockpile]

Svar:

Chansen att alla de tre ojämna hästarna springer bra = 0,4*0,4*0,4 = 6,4 %.

Chansen att en av de tre springer bra = (0,4*0,6*0,6)*3 = 43,2 %

Chansen att två av de tre springer bra = (0,4*0,4*0,6)*3 = 28,8 %

Chansen att ingen springer bra = 0,6*0,6*0,6 = 21,6 %

 

Endast i det fjärde fallet vinner den jämna hästen!

 

I de tre första fallen vinner de ojämna hästarna var sin tredjedel!

 

Dvs de ojämna hästarna vinner vardera (6,4+43,2+28,8)/3 = 26,13%

[Fido]

Jo, nog tolkar jag honom för bokstavligt, men essänsen i det jag säger är ändå sant. Helt klart är det så att fler motståndare sänker dina chanser att vinna, det säger ju sig självt.

 

Jag påstår ändå att hans räkneexempel haltar något, på just det sätt jag skrev. Att är du favorit mot ett flertal händer, så kommer de att "trassla in sig i varandra", och ta bort en del outs.

 

Tycker inte exemplet stämmer särskilt bra, för mot 88 är du en massiv underdog och mot A2 en marginell favorit. Inte riktigt samma grej. (preflop massiv dog mot båda motståndarna)

 

Säger bara att i en situation där du har favoritskap mot ett par händer, så kommer det att gynna dig om det kommer till fler - inte tvärtom som han säger. Eller, du kommer vinna färre potter, men köper INTE att du plötsligt får minst equity av alla händer.

 

 

Edit:

Zoogin, hårddra det. Fortsätt att lägga till ett par händer i din HH. Just för ditt fall får du lite lägre equity, men det är för att en hand som du är 50-50 mot plötsligt blir jättefavorit. Om du lägger till ett par andra händer som du har favoritskap mot så får du en större del av equityn än snittet.

[Orixan]

Mitt "sunda förnuft" (???) säger att räkneexemplet inte stämmer.

Den bästa hästen/handen kommer alltid att ha större sannolikhet att vinna än de andra hästarna/händerna.

 

Vad är det då som är fel i exemplet ?

 

Jo, man ser loppet som en slantsingling med tre olika mynt. Ett för matchen A/B, ett för matchen A/C och ett för B/C.

 

Felet man gör är att vissa av kombinationerna inte kan hända samtidigt.

Tex kan inte A vinna över B och förlora mot C samtidigt som B vinner över C.

Därför blir resultatet i hästexemplet fel.

 

Häst A kommer alltid att ha högre sannolikhet att vinna än övriga (sämre) hästar.

 

Hur man räknar ut den korrekta sannolikheten överlåter jag till någon annan .... (eftersom jag redan är på hal is)

[Saint_Bjorn]

Mitt "sunda förnuft" (???) säger att räkneexemplet inte stämmer.

Den bästa hästen/handen kommer alltid att ha större sannolikhet att vinna än de andra hästarna/händerna.

Ju fler motståndare desto lägre sannolikhet för den bästa hästen/handen att vinna. Därför vill du inte möta fler än 1-2 moståndare med t ex AA.

Alla dina motståndares samlade sannolikhet för att vinna vill du ju ha lägre än 50% då du själv sitter med ett monster.

[Fido]

Svar:

Chansen att alla de tre ojämna hästarna springer bra = 0,4*0,4*0,4 = 6,4 %.

Chansen att en av de tre springer bra = (0,4*0,6*0,6)*3 = 43,2 %

Chansen att två av de tre springer bra = (0,4*0,4*0,6)*3 = 28,8 %

Chansen att ingen springer bra = 0,6*0,6*0,6 = 21,6 %

 

Endast i det fjärde fallet vinner den jämna hästen!

 

I de tre första fallen vinner de ojämna hästarna var sin tredjedel!

 

Dvs de ojämna hästarna vinner vardera (6,4+43,2+28,8)/3 = 26,13%

 

Och, om vi har 9 hästar:

 

Chansen att alla de nio ojämna hästarna springer bra = 0,4^9 = 0,026 %.

Chansen att ingen springer bra = 0,6^9 = 1 %

 

Alltså, om du är favorit mot alla andra händer vid ett FR-bord, och alla andra går AI, så kommer du vinna 1% av gångerna, och de andra 11% var. Mycket logiskt.

 

Eller, Om vi säger att du har AA, de andra KK-55, så blir motsvarande analogi att: Vi har 80% mot varje hand, de har 20% var.

 

Chansen att alla de nio andra slår oss = 0,2^9 = 0,00005 %.

Chansen att ingen slår oss = 0,8^9 = 13 %

 

Vilket inte stämmer, och ändå är det då ett perfekt utfall, då det i verkligheten skulle vara LÅNGT mycket mer troligt att vi hade två personer med 66. (eller 67+68+78 t.ex) En sådan kombinatorik skulle öka våra chanser att vinna.

[Orixan]

Rätt att sannolikheten sjunker, men den kommer alltid att vara högre än för varje annan enskild hand, och inte som i hästexemplet där övriga hästar/händer plötsligt har större sannolikhet än dina AA att vinna.

[Hjort]

Vilket inte stämmer, och ändå är det då ett perfekt utfall, då det i verkligheten skulle vara LÅNGT mycket mer troligt att vi hade två personer med 66. (eller 67+68+78 t.ex) En sådan kombinatorik skulle öka våra chanser att vinna.

Det stämmer inte för att hold'em-händers prestation inte är oberoende vilket hästarnas i exemplet är.

 

Ju fler motståndare desto lägre sannolikhet för den bästa hästen/handen att vinna.

Must. Resist. Urge. To Konstruera motexempel i hold'em.

 

Äh, skruva det.

 

33 på 3AK-regnbågsflopp. Vill du hellre ha en motståndare med AK än tre?

 

Därför vill du inte möta fler än 1-2 moståndare med t ex AA.

Så länge det inte är ett spel där implicita odds inte spelar gigantisk roll (exempelvis PL eller NL med typ 100bb-stackar) så stämmer inte det här. Att räkna ut lönsamheten lämnas som en övning till läsaren.

 

Alla dina motståndares samlade sannolikhet för att vinna vill du ju ha lägre än 50% då du själv sitter med ett monster.

Jag har alltid föredragit att de har 0% chans att vinna, men jag antar att vi har lite olika smak.

 

Seriöst så menade du nog att vinstchansen måste vara över 1/n (där n är antal aktiva motståndare) för att det rena betandet ska bli lönsamt. 10% vinstchans är rätt ok om man får 100 gånger pengarna.

[Saint_Bjorn]

Rätt att sannolikheten sjunker, men den kommer alltid att vara högre än för varje annan enskild hand, och inte som i hästexemplet där övriga hästar/händer plötsligt har större sannolikhet än dina AA att vinna.

Ja, men du struntar väl i vilken annan häst/hand som vinner? För dig är det ju två spelare: du och alla andra. Om du har 30% och "alla andra" 70% så är du ju i underläge (dock med hyggliga odds).

[Saint_Bjorn]

Ju fler motståndare desto lägre sannolikhet för den bästa hästen/handen att vinna.

Must. Resist. Urge. To Konstruera motexempel i hold'em.

 

Äh, skruva det.

 

33 på 3AK-regnbågsflopp. Vill du hellre ha en motståndare med AK än tre?

Nu har jag stött mig med fel person inser jag....men okej.

Vänd på det: med AK vill jag få bort 33 etc flera händer preflop med AK, dvs antalet möjliga träffar på floppen vill jag minimera.

 

Därför vill du inte möta fler än 1-2 moståndare med t ex AA.

Så länge det inte är ett spel där implicita odds inte spelar gigantisk roll (exempelvis PL eller NL med typ 100bb-stackar) så stämmer inte det här. Att räkna ut lönsamheten lämnas som en övning till läsaren.

Jag antar inte den utmaningen, men jag tänkte främst NL. Min erfarenhet av FL är dock samma: jag vill inte ha 3-5 pers som ser floppen. Min subjektiva bedömning, men som pokermatematiskt snille har du säkert redan facit.

Alla dina motståndares samlade sannolikhet för att vinna vill du ju ha lägre än 50% då du själv sitter med ett monster.

Jag har alltid föredragit att de har 0% chans att vinna, men jag antar att vi har lite olika smak.

 

Seriöst så menade du nog att vinstchansen måste vara över 1/n (där n är antal aktiva motståndare) för att det rena betandet ska bli lönsamt. 10% vinstchans är rätt ok om man får 100 gånger pengarna.

0% preflop kan var lite svårt...

 

Pottodds är väl alltid pottodds. Men samtidigt vill man ju ha större chans att dra in potten då man sitter med ett monster.

[Hjort]

Rätt att sannolikheten sjunker, men den kommer alltid att vara högre än för varje annan enskild hand, och inte som i hästexemplet där övriga hästar/händer plötsligt har större sannolikhet än dina AA att vinna.

Snittprestationen kommer alltid vara bättre än alla enskilda motståndares men inte vinstchansen. Det beror på att den jämna hästen inte kan uppnå de starka resultat som krävs för att vinna ett stort lopp.

 

Om vi skriver om experimentet lite mer extremt:

 

Du ska tävla med ett antal motståndare om att få högst tal mellan 0 och 100. Du är extremt stabil på det här och får alltid 55 medan dina motståndare är riktiga vildpannor som kan få alla tal med lika stor sannolikhet. Grejen är bara att du har en miljard medtävlare.

 

Sannolikheten att det högsta talet bland dem är under 55 är .55^1000000000 vilket är så lågt att det är 0 i alla praktiska hänseenden. Dina motståndare däremot har alla 1/1000000000 att vinna vilket är väldigt mycket större än din chans att vinna. Däremot så har du fortfarande bättre förväntat snitt än var och en av dina motståndare.

 

Förenklat är resonmanget att det i stort sett krävs 100 för att vinna mot en miljard motståndare och då är man körd om man inte kan få över 55.

[Hjort]

Vänd på det: med AK vill jag få bort 33 etc flera händer preflop med AK, dvs antalet möjliga träffar på floppen vill jag minimera.

Det var alltså inget bevis för att man normalt sett ökar sin vinstchans med fler motståndare utan bara ett exempel på att så inte alltid är fallet. Basically ett irrelevant sidospår som inte kommer leda någonstans. Men motexempel är lite för enkla för att låta bli.

 

Jag antar inte den utmaningen, men jag tänkte främst NL. Min erfarenhet av FL är dock samma: jag vill inte ha 3-5 pers som ser floppen.

Det har gjorts mängder med simulationer och resonemang som i stort sett alla kommer fram till att lönsamheten ökar rätt drastiskt upp till 4-6 synare och sedan i mindre steg upp till 10 motståndare. Det är inte särskilt relevant om man inte spelar på lösaggro fullbord.

 

Pottodds är väl alltid pottodds. Men samtidigt vill man ju ha större chans att dra in potten då man sitter med ett monster.

Pottodds är en sak och betodds en annan. Vinner du en hand mer än snittet bland de motståndare som betalar för fler kort så vill du normalt sett ha in mer deg i potten.

[Saint_Bjorn]

Hjort, jag ger mig innan OT-spåret blir för djupt.

[Zoogin]

Zoogin, hårddra det. Fortsätt att lägga till ett par händer i din HH. Just för ditt fall får du lite lägre equity, men det är för att en hand som du är 50-50 mot plötsligt blir jättefavorit. Om du lägger till ett par andra händer som du har favoritskap mot så får du en större del av equityn än snittet.

Ja det får jag, men jag blir inte favorit för det, vilket är det hästparadoxen säger. I det fallet jag nämner förlorar jag både favoritskapet (hästparadoxen) + att jag dessutom får en lägre equity än 1/n vilket är illa.

 

Det som kanske förvirrar när hästparadoxen jämförs med poker är att man kan få en ok equity fast att man tappar favoritskapet mot fler motståndare.

[MarcusK]

Chansen att alla de nio ojämna hästarna springer bra = 0,4^9 = 0,026 %.

Chansen att ingen springer bra = 0,6^9 = 1 %

 

Alltså, om du är favorit mot alla andra händer vid ett FR-bord, och alla andra går AI, så kommer du vinna 1% av gångerna, och de andra 11% var. Mycket logiskt.

Nu vet jag inte om du skojar Fido. Inte menar du väl att det är logiskt att favoriten vinner 1% av gångerna vid ett 10-mannabord om alla övriga går AI.

 

I hästparadoxen var det ju en medlmåttlig konstant nivå för

A-hästen och ojämn nivå för motståndet som gjorde det så troligt att den inte vannn så ofta. Om den hade varit bättre i 60% av fallen utan påpekandet om en extrem jämn hyfsade nivån och utan att motståndet var speciellt ojämnt så skulle den ha blivit favorit även med 9 motståndare.

 

Om man säger att A vinner mot vardera B, C resp. D i 60% av fallen och att de alla är ungefär lika ojämna så tror jag att fördelningen 30% vinst för A och 20% vinst för B,C och D är nära sanningen, precis som jag skrev i öppningsinlägget.

 

Den här hästparadoxen är inte alls jämförbar med pokersituationerna såtillvida man inte har för vana att försöka spela medelmåttliga kort.

[Fido]

Chansen att alla de nio ojämna hästarna springer bra = 0,4^9 = 0,026 %.

Chansen att ingen springer bra = 0,6^9 = 1 %

 

Alltså, om du är favorit mot alla andra händer vid ett FR-bord, och alla andra går AI, så kommer du vinna 1% av gångerna, och de andra 11% var. Mycket logiskt.

 

Nu vet jag inte om du skojar Fido. Inte menar du väl att det är logiskt att favoriten vinner 1% av gångerna vid ett 10-mannabord om alla övriga går AI.

Nä, om du hade läst mitt inlägg så hade du förstått att jag med räkneexemplet ville visa hur ofantligt fel det är att påstå att du tappar equity såsom exemplet vill visa. Du kan inte räkna sådär.

 

Det är ett härligt räkneexempel där gemene man inte har en chans att förstå var man blir lurad. Bästa sättet att testa paradoxer eller andra saker som den här är att ställa saken på sin spets. I det här fallet väljer jag 9 hästar och använder samma räknesätt, då hade ingen protesterat. 9 hästar vinner nog 99% av tiden mot vår häst.

 

Men när jag tar till pokertermer, när det blir något som vi VET något om, då protesterar folk, för då kan vi relatera till något, och förstår därmed hur fel paradoxen har.

 

Det är ett fall av:

 

Tänkte [...]bevisa att 7 = 5 och förhoppningsvis få en kul diskussion runt det hela.

 

6x = 4y

ändrar om lite men med samma resultat:

21x - 15x = 14y - 10y

Flyttar om lite mellan talen så jag senare kan förkorta:

21x - 15x + 15x - 14y = 14y - 14y - 10y + 15x

Gjorde ovanstående lite tydligt, så nu tar vi bort det som tar ut varandra och får:

21x - 14y = 15x - 10y

Nu bryter jag ut 7 till vänster om = tecknet och 5 till höger och får:

7(3x-2y) = 5(3x-2y)

Nu har vi samma sak på båda sidorna och delar därför med (3x-2y) på båda sidorna:

7 = 5

 

Tada jag har bevisat att 7 = 5.

 

Det var ju sant. Eller?

 

 

På samma sätt som detta verkar logiskt verkar hästparadoxen det, men att den för den delens skull skulle vara applicerbar på poker? Njae, inte en chans. Bakomligganden idén, ja. Gäller att vara medveten om att dina chanser minskar med fler motståndare.... men där kan gränsen dras.

 

(Visst, det FINNS specialfall där du är tokfavorit mot alla andra, men du är i realiteten körd. Men detta är specialfall.)