Hmm... Tänker mig något som beter sig som tan φ/2 där φ är polärkoordinatvinkeln. En sån funktion är ju snäll och fin (exakt lika med 0) längs med de kartesiska axlarna, men sticker iväg åt +/- oändligheten däremellan. Återstår att ta hand om origo, men eftersom du får definiera f som du vill är det väl bara att sätta f(0,0) = 0 i din definition. Gränsvärdena borde väl bli tillräckligt fina för att x->f(x,y) och y->f(x,y) ska bli deriverbara för hela R?
EDIT: Fast det funkar ju bara för x->f(x,0) och y->f(0,y) i så fall, så glöm det...
EDIT2: En liten justering av idén: något som har radien i nämnaren och ger 0/0 vid origo, så att vi får sätta f(0,0) = 0. f(x,y)=xy/sqrt(x^2+y^2) typ kanske?