Angående matteuppgiften:
Jag antar att k är ett heltal. Annars blir det väldigt svårt att undersöka f(x) när x < 0, eftersom exponenterna blir komplexa. Var det en av förutsättningarna månne?
Beräkningsgång:
Sök extrempunkter genom att sätta f'(x) = 0.
Bestäm extrempunkternas karakteristik genom att undersöka tecknet på f"(p), där p är lösningarna till f'(x) = 0.
Det blir lite olika fall att undersöka, eftersom funktionen beter sig lite olika beroende på värdet på k.
Here we go.
Derivator:
f(x) = x^k * e^(-x)
f'(x) = kx^(k-1) * e^(-x) - x^k * e^(-x) = x^(k-1) * e^(-x) * (k - x)
f"(x) = k(k-1)x^(k-2) * e^(-x) - 2kx^(k-1) * e(-x) + x^k * e^(-x) =
x^(k-2) * e^(-x) * [ k(k-1) - 2kx + x^2 ]
Sök extrempunkter genom att sätta f'(x) = 0.
f'(x) = 0 => x^(k-1) * e^(-x) * (k - x) = 0
k = 0 => f'(x) = x^(-1) * e^(-x) * ( 0 - x ) = -e^(-x)
Är ej noll för några x => inga extrempunkter för k = 0
k <= -1 => Eftersom k - 1 är negativt, finns inga x så att x^(k-1) = 0.
e^(-x) är inte heller noll för några x.
f'(x) är alltså 0 bara då x = k.
k = 1 => f'(x) = x^0 * e^(-x) * ( 1 - x )
x^0 = 1 => enda lösningen till f'(x) = 0 är x = 1
k >= 2 => x^(k-1) = 0 för x = 0
Alltså är x = 0 och x = k lösningar till f'(x) = 0
Undersök extrempunkternas karakteristik genom att identifiera tecknet på f"(p) där p är en lösning till f'(x) = 0.
k = 0: inga extrempunkter att undersöka
k = 1: undersök f"(x = k)
f"(x = k) = k^(k-2) * e^(-k) * [ k(k-1) - 2k^2 + k^2 ] =
k^(k-2) * e^(-k) * (-k) = -k^(k-1) * e^(-k)
k = 1 => f"(x=k,k=1) = -1^0 * e^(-1) = -e^(-1) < 0 => maxpunkt
k >= 2: undersök f"(x = k) och f"(x = 0)
f"(x = k) = -k^(k-1) * e^(-k)
e^(-k) > 0
k^(k-1) > 0
Alltså är f"(x = k) < 0 => maxpunkt
f"(x = 0) = 0^(k-2) * e^(0) * k*(k-1) = 0^(k-2) * k(k-1)
k = 2 => 0^(k-2) = 0^0 = 1 => f"(x=0,k=2) = k(k-1) = 2 => minpunkt
k >= 3 => 0^(k-2) = 0 => f"(x=0,k>=3) = 0 => sadelpunkt
k <= -1: undersök f"(x = k)
f"(k) = - 1/k^(1-k) * e^(-k)
e^(-k) > 0 för alla k
k^(1-k) > 0 om k är udda
k^(1-k) < 0 om k är jämnt
Alltså:
f"(k) > 0 om k är jämnt => minpunkt
f"(k) < 0 om k är udda => maxpunkt
Summa summarum:
k <= -1 => f(x) har minpunkt i x = k om k är jämnt
f(x) har maxpunkt i x = k om k är udda
k = 0 => Inga extrempunkter
k = 1 => f(x) har maxpunkt i x = 1
k = 2 => f(x) har minpunkt i x = 0 och maxpunkt i x = k
k >= 3 => f(x) har sadelpunkt i x = 0 och maxpunkt i x = k