Gå till innehåll

cwenner

Members
  • Innehåll Antal

    7
  • Gick med

  • Besökte senast

Converted

  • Hemort
    Lund

Converted

  • Sysselsättning
    stud. AI

cwenner's Achievements

Newbie

Newbie (1/3)

0

Anseende bland gemenskapen

  1. 2+2/2plus2, refereras till ibland. Vad betyder termen?
  2. Tog ett par timmar , men Antagande 1: Vi förenklar till fallet där man i en pokersession antingen dubblar, eller förlorar hela upptaget u med några sannolikhet p. Detta antagande är felaktigt och kommer att uppfatta situationen något mera riskfylld är den faktiska. Med det antagandet så är det förväntade förtjänsten i en session (1) (2p-1)u Antagande 2: Ifall vi antar att man har samma förväntade vinst oavsett upptag så ger det (2) (2p-1)u = ev => p = (ev/u+1)/2 vilket är närapå rätt. (anledningen till att det verkar underligt att man inte dubblar upp lika ofta är för att man under samma tidsdistribution bara kommer till en viss del av en dubblering och att detta kan ses som delvis en dubblering och delvis en total förlust. Hade man haft en mindre stack skulle detta räknas mer som en dubblering än motsvarande fall.). Varje session förändrar därmed BR med ett upptag (plus eller minus) och om vi vill veta sannolikheten att vi ska tjäna ytterliggare N upptag till någon kritisk gräns N utan att ha förlorat k upptag under loppet så följer en s.k. random walk with absorbing barriers. Grimmett&Stirzakers Probability and Random Processes har just ett sådant exempel där sannolikheten att bli bankrupt är (3) p_k = ((q/p)^k - (q/p)^N)) / (1 - (q/p)^N) där q = 1 - p, vilket ger q/p = (1 - (ev/u + 1) / 2) / ((ev / u + 1) / 2) = (2 - ev/u - 1) / (ev / u + 1) = (1 - ev/u) / (1 + ev/u) = (u - ev) / (u + ev) sätter vi t.ex. N = 2k, a = u - ev, b = u + ev och antar att ev != 0 (i.o.m. div. med 0) och p != q, får vi p_k = ((q/p)^k - (q/p)^2k)) / (1 - (q/p)^2k) = = ((q/p)^k - (q/p)^2k)) / (1 - (q/p)^2k) = = (a^k / b^k - a^2k / b^2k)) / (1 - a^2k / b^2k) = = a^k (b^k - a^k) / b^2k / (b^2k - a^2k) * b^2k = = a^k (b^k - a^k) / ((b^k + a^k) * (b^k - a^k)) = = a^k / (b^k + a^k) = = 1 / ((b / a)^k + 1) => (4) p_k(u,ev) = 1 / (1 + ((u + ev) / (u - ev)) ^ k) (eller (u - ev)^k / ((u + ev)^k - (u - ev)^k) om man tycker att det är mera överskådligt). Sätt (5) G = (u + ev) / (u - ev) = p / q d.v.s. sannolikheten att dubbla genom sannolikheten att förlora allt. då får vi (6) p_k(G) = 1 / (1 + G^k) Anta att jag har en timförtjänst på 10BB. Vi kan då låta varje session bestå av en timme och sätta EV = 10BB, u = 100BB och k = 1000BB / u = 10. Låt oss kalla detta konf.1. Vi får då G1 = 110BB / 90BB = 1.22... och p = (ev/u+1)/2 = 0.55, vilket ger p_10 = 1 / (1 + G1^k) = 1 / (1 + 1.22... ^ 10) = 1 / 7.2 = 11.85%. Vi spelar istället med k = 30 (konf.2.): p_30 = 1 / (1 + 1.2 ^ 30) = 1 / 238 = 0.2424% Så förutsatt att vi går med på vårat antagande har man i konf.1. 12% chans att bli av med 1000BB, skulle man tredubbla den tillgängliga BR minskar risken 49 ggr. Tillgängliga upptag risk (%) 1 45.00 2 40.10 3 35.39 4 30.95 5 26.83 6 23.08 8 16.72 10 11.85 12 8.26 15 4.70 20 1.78 25 0.66 30 0.24 35 0.09 40 0.03 45 0.01 Vi beräknar samma lista för dubbla upptaget, G2 = 210BB / 190BB = 1.105 1 47.51 2 45.02 3 42.57 4 40.15 5 37.77 6 35.46 8 31.03 10 26.92 12 23.18 15 18.28 20 11.95 25 7.61 30 4.76 35 2.95 40 1.81 45 1.11 50 0.67 55 0.41 60 0.25 65 0.15 70 0.09 75 0.06 80 0.03 85 0.02 90 0.01 Vi ser hur risken för 10 upptag ökar 2.3 ggr. och 20 ggr för 30 upptag. 30-upptagsnivån för G1 nås först på 60 upptag för G2. Frågan löd som följande: anta att vi vill hålla p_k(u, ev) konstant då vi ändrar u men håller ev konstant, vilket värde antar k? låt k' = k och u' = du p_k(u, ev) = p_k'(u', ev) => => 1 / (1 + G^k) = 1 / (1 + G'^k') => G^k = G'^k' => (7) k' = k log(G) / log(G') Om vi t.ex. vill gå från G1 (1.22) till G2 (1.11) för 20 upptag: k' = k log(1.22) / log(1.11)) = k 0.0863... / .0453... =~ 1.9k d.v.s. bankrullen måste ökas med 90% för samma risk. Som sagt är antagande 1 något pessimistisk dock.
  3. Introduktionsteoriböcker är nog relevanta för samtliga pokerformer. Rekommenderar starkt Sklanskys Theory of poker (sv.tit. 'Pokerteori'), som jag anser just är en introduktionsbok. Har inte läst såpass mycket pokerlitteratur (omkring 400 s.) så jag kan inte lägga alltför mycket vikt bakom orden dock.
  4. WA/WB har nämnts och jag fann mig själv undrandes. Efter lite sökande - Way Ahead/Behind, d.v.s. väldigt osannolikt att du (behind) eller dina motståndare (ahead) drar en vinnande hand på framtida gator. Måhända borde förstainlägget uppdateras med alla nya termer? bl.a. saknades HD som beskrivits någonstans sida 3-6 (implicerar att många termer saknas på förstasidan).
  5. Lite matematisk analys som kanske ger en idé men inte verkar särskilt hjälpsamt på högre nivå. Det enda en god spelare skulle syna prefloppen med skulle vara medelhöga+ pockets och A+ höga kickers. Sämre spelare har även en tendens att syna låga pockets, 2B, Axs/Kxs, samt har jag erfarit att vissa spelare även synar enorma höjningar med suited connectors. Det skulle iofs vara på nivån halva av dina blinds. I princip: Pessimistiskt: TT+,AT+ [3*5+8*4 = 39] Optimistiskt: 22,33,44-66,77,88,99,TT+,A7,A8,A9,AT+,A2s,A3s,A4s-A6s,K7s,K8s,K9s, KTs+, suited connectors [3 + 1.5 + 3*3 + 0.5 + 3 + 1.5 + 3*5 + 4 + 8 + 6 + 8*4 + 2 + 1.5 + 2*3 + 1 + 2 + 1.5 + 2*3 + 2*9 + 1.5*2 + 1 = 125.5] I det första fallen sitter han antingen med 2 överkort eller ett överpar. 15/39 = 38.5% för överpar I det senare är det blott 5/125.5 = 4.0% chans att han har träffat tripsen. 0.5/125.5 = 0.4% chans för fyrtal 1.5/125.5 = 1.2% chans för set (3or) 4/125.5 = 3.2% chans för en semibluff på hålstegedrag 15/125.5 = 12.0% chans för överpar 15/125.5 = 12.0% chans för lägre pockets 48/125.5 = 38.2% chans för två överkort exk. 9 kicker 55.5/125.5 = 44.2% chans för två överkort inkl. 9 kicker Slagen i det pessimistiska fallet: 38.5% Slagen i det optimistiska fallet: 17.6% Om vi antar att ni riskerar hela stacken oavsett om han bluffar eller inte, där den minsta är s, och potten nu är t, kan du i det värsta fallet satsa s för att vinna 2s+r, således måste (2s + t)p >= s -> p >= 1/(2 + t/s) Där p är chansen att vinna. Vi estimerar sannolikheten att han skulle bluffa i en sådan här position till q och a priori-risken att du är slagen r och får således P(Bettar|Situation) = P(Bluffar|Situation) + P(Har|Situation) = q + r => => 1 - p = P(Har | Bettar, Situation) = P(Bettar | Har, Situation) P(Har | Situation) / P(Bettar | Situation) = 1.0 * r / (q + r) = r / (q + r) D.v.s. du slår bara en bluff och sannolikheten, p, för en bluff är 1 - r /(r + q). Således måste 1 - r/(r+q) >= 1/(2 + t/s) -> -> r / (r+q) <= 1 - 1/(2 + t/s) -> -> r / (1 - 1/(2 + t/s)) <= r + q -> -> q >= r / (1 - 1/(2 + t/s)) - r = = r / ((2 + t/s - 1) / (2 + t/s)) - r = = r * (2 + t/s) / (1 + t/s) - r = = r * (2 + t/s) / (1 + t/s) - r * (1 + t/s) / (1 + t/s) = = r / (1 + t/s) D.v.s. chansen att han skulle bluffat i (för dig) samma situation gånger 1 + hur stor del potten är av den minst stacken skall vara större än eller lika med chansen att han faktiskt har någonting. I detta fall är potten $22.5 (sb 0.5 + 2 bb varav 1 plus 2 * 4 + 2 * 6, hans extra 12 räknas ej ännu). Den minsta kvarvarande stacken är $85.5, således: Pessimistiskt: q >= 38.5% / (1 + $22.5 / $85.5) = 30.5% Optimistiskt: q >= 17.6% / ... = 14.0% Så om det är minst en på 3 att han skulle försöka betta tom i denna position så tjänar du på att försätta hela din stack i fara ifall han gör detsamma. Är chansen mindre än en på sju borde man dock inte göra det. Ett mera pessimistiskt fall skulle vara att han slutar betta ifall han bluffar och du blott vinner $34.5 för extra $12, medans du förlorar hela din stack om han inte bluffar. i.s.f. 0 <= (t + $24)p - s(1-p) = = (t + $24 + s')p - s -> -> s' / (s' + t + $24) = 1 / (1 + t/s' + $24/s') <= p = 1 - r / (r + q) -> -> 1 - 1 / (1 + t/s' + $24/s') >= r / (r + q) -> -> r + q >= r / (1 - 1 / (1 + t/s' + $24/s')) -> -> q >= r / (1 - 1 / (1 + t/s' + $24/s')) - r -> -> q >= r s' / (t + $24) Där s' är den minst stacken efter att du synat hans $12-höjning D.v.s. Sannolikheten att han skulle bluffa i en likn. situation gånger hur stor del potten + $24 är av den minsta stacken efter syn skall vara minst lika stor som chansen att han har någonting: Pessimistiskt: q >= 38.5% * $70.5 / ($34.5 + $24) = 46.3% Optimistiskt: q >= 17.6% * ... = 21.2% Med en sådan taktik (vilket skulle vara det värsta fallet) måste han nästan bluffa varannan gång i det pessimistiska preflop-fallet och en av fem för det optimistiska. Valet är dock klart ifall han bluffar minst varannan gång i en sådan situation (som alltid) eller om det är mindre än en på sju att han där skulle bluffat. Detta bygger dock på en rad förenklingar och poker är så klart betydligt mera avancerat med sina psykologiska faktorer och det här är inte mer än riktlinje så klart. Jag tror dock att det stämmer mycket väl om man begränsar efter hans troliga model (vilket ifall man inte sett honom förut skulle vara genomsnittsspelaren) och blott maximerar för denna hand.
  6. Låt mig först notera att jag inte är en särskilt bra spelare (för lättläst misstänker jag) men relativt god på statistik och likn. teoretiskt grund. Detta skrivs dock med reservationer. Sannolikheten att någon sitter på en dam kan generaliseras till sannolikheten att något av de m hålkort vardera som n spelare erhållit, givna från en samling om d kort, tillhör en klass av k kort. I detta fall: n = 4 (4 motspelare, vi bryr oss inte om ifall du har damen) m = 2 (texas, 2 hålkort var) d = 47 (du har sett 2 hålkort samt 3 på bordet, således 47 okända. Brända kort räknas inte som bekant) k = 2 (vi är intresserade av om någon har en av korten från klassen damer, av vilka 2 kvarstår) Detta kan förenklas ytterliggare: du väljer ut nm av d kort, vad är sannolikheten att något av dessa tillhör k? Man noterar snabbt att detta är just det omvända mot att inget av de nm korten tillhör k. Sannolikheten för detta är (d - k) / d * (d - k - 1) / (d - 1) * (d - k -2) / (d - 2) * ... * (d - k - nm + 1) / (d - nm + 1) Då du först har 47 kort att välja på och det måste tillhör ett av (47 - 2) = 45 kort. Sedan finns 46 kvar, men fortf. 2 du inte kan få, 44 / 46, o.s.v. då du drar det sista kortet har redan nm - 1 försvunnit, därav den sista termens etta. Med denotationen n! n-fakultet definierat som n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1 (t.ex. är 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1) kan man uttrycka samma sannolikhet mera koncist: (d - k)! * (d - nm)! / (d - k - nm)! / d! Då d varierar mellan 45 och 50 för texas och 43 och 48 för omaha förändras inte sannolikheten mycket genom att approx. med 47 eller 45. Man har då möjlighet att tabulera sannolikheterna då jag inte känner till någon noggrann metod för huvudräkning om man inte ska lära sig 3000 binomonialkoefficienter utantill. Personligen spelar jag med en tabell med d = 47, m = 2 och 1 <= k <= 23, 1 <= n <= 9. Detta är dock sannolikheten att någon spelare gavs en sådan hand och tar inte i åtanke de tells som deras handlingar ger. Man kan fortf. utnyttja informationen dock. Sannolikheten att en person faktiskt sitter på två givna hålkort h_1 och h_2, givet en handlingssekvens H är: P(h_1, h_2 | H) = P(H | h_1, h_2) P(h_1, h_2) / P(H) [baye's law] = P(H | h_1, h_2) P(h_1, h_2) / Sum[<h'_1,h'_2>: P(H | h'_1, h'_2) P (h'_1, h'_2)] d.v.s. P(H | h_1, h_2): Sannolikheten att de utför en viss handlingssekvens givet att de har de misstänkta hålkorten gånger P(h_1, h_2): sannolikheten att de "a priori" (d.v.s. utan att ta hänsyn till tells) fick dessa kort, genom P(H): sannolikheten att de skulle göra denna handling om man inte har någon annan information alls. Denna sannolikheten kan beräknas genom att summera över samtliga möjliga händer, sannolikheten att de fick den sannolikheten multiplicerat med sannolikheten att de med den handen utför denna handling. Normalt sätt förenklar man då man spelar, ,man resonerar med strikta förhållande och överlåter sannolikheten i mera komplicerade resonemang till intuition. Om vi förenklar och delar in hålkortstupler (för att inte förväxla med pockets) i två grupper: tupler man utför H med (denoterat {<h_1,h_2>: H} och tupler man inte gör detta med, erhåller man: P(h_1, h_2 | H) = P(h_1, h_2) / Sum[x i {<h'_1,h'_2>: H}: P(h'_1, h'_2)] d.v.s. sannolikheten att de har en given hålkortstupel givet en viss handlingssekvens kan byggas på sannolikheten att de a priori gavs hålkortstupeln genom den totala sannolikheten över samtliga händer de skulle göra så med. Detta är elementärt och komplementeras ofta med en bluffsannolikhet. Följande simpla exempel bör göra resonemanget bekant (men jag säger inte att man skall utföra nogranna beräkingar under spel, snarare teori vilket används t.ex. vid efteranalys och för att utveckla intuitionen). Hero UTG+1 ges ATo. UTG folds, ..., Hero höjer till 3 BB, SB folds, ..., BUT synar, ... Flop kommer 8:club:T:heart:Q:spade: Hero bets 5 BB. BUT reraises [from 5 BB] to 15 BB. Som vanligt vill man placera motspelaren på kort, givet att han inte bluffar. Vilka händer är värda att göra sådant med? Om vi leker med strikta implikationer: Vilka kort synas 3 BB med? Ess med höga kickers, AT-AK - 4.8%. Dock vet vi att vi själva sitter på ett ess, 3.6%. Höga pockets, låt oss säga TT+ [de flesta skulle höja igen men de har ändock en god sannolikhet att blott syna och vi generaliserar smått]. AA i denna situation är dock hälften så trolig så 2.1%. Potentiellt KJ - 1.3% Dessutom kan vi generalisera med att andra hålkortstupler har blott 10% chans för denna handling. Vilka händer skulle reraisas dubbelt med i denna situation? Knappast färgdrag. J9, jovisst, men blott 1.3% a priori och vi antog att det blott var 10% chans, således 0.13% a priori vid flop. Överpar - KK, AA - dessa har tillsammans flop a priori 0.83% Två par - QT, Q8, T8 - 0.55% + 0.55% + 0.83% = 1.9%, dock 10% -> 0.19%. Set - 88, TT, QQ - 0.28% + 0.09% + 0.28% = 0.65%, dock med våra preflopsannolikheter: 0.03% + 0.09% + 0.28% = 0.40%. High pair med medelhög kicker: Q9-QJ + AQ = 1.11% * 0.1 + 0.55% * 0.1 + 1.11% * 0.1 + 0.83% =~ 1.11% Den totala sannolikheten blir således 2.66%! Ifall han i sådana här situationer reraisar 20% av fallen är det bara 2.66% / 20% = 13.3 % chans att han inte bluffar! (tyvärr är 'sådana' egentligen praktiskt taget identiska situationer, inkl. hans resonerande. Man kan dock hypotetiskt sett samla in statistik över hur spelare spelar för att rättfärdiga ett sådant antaganda, även om det finns de som bryter mot det. Anpassar man sig så att även dessa anpassas efter går man blott mer i vinst.). Om vi antar att han inte bluffar, kan vi således beräkna sannolikheten att han redan sitter på stege: 0.13% / 2.66% = 4.89%. Intressant ifall vi t.ex. senare träffar triss. Just detta resonemang, om än inte matematiskt grundat är som förhoppningsvis bekant elemenärt. För att sammanfatta: Informationen är intressant då hålkortstupelns posterior-sannolikheten kan beräknas genom att dividera hålkortens a priori-sannolikheten med sannolikheten för agerandet. Kommentar: Skulle behövas komplementeras med en introduktion till kombinatorik. ---- Först inlägget, konstruktiva kommentarer mycket välkomna, är detta rätt ställe t.ex.? Bör exemplet bytas ut till något mera passande måhända? Det verkar mera relevant att tala om mer frekventa situationer, t.ex. chansen för att de har bättre kicker eller fick in ett drag.
×
×
  • Skapa nytt...