Sannolikhetsproblem

[yberjonte]

Jag behöver 18 speciella bitar för att bygga en figur. Dessa bitar läggs i en låda tillsammans med 57 andra bitar (sammanlagt 75 bitar).

Jag får nu plocka upp 44 bitar ur lådan (utan att titta i lådan).

Hur stor är chansen att jag nu har de bitar jag behöver för att bygga figuren?

 

Tack på förhand!

[CopShootCop]

Tips!

 

Räkna istället ut sannolikheten att välja ut 31 bitar utan att ta en av de 18 bitarna. Det blir samma sak.

 

Försöker slå det på min räknare men den verkar inte kunna räkna så stora fakulteter.

[yberjonte]

Tips!

 

Räkna istället ut sannolikheten att välja ut 31 bitar utan att ta en av de 18 bitarna. Det blir samma sak.

 

Försöker slå det på min räknare men den verkar inte kunna räkna så stora fakulteter.

 

Tack! Mycket bra tips.

Det blir alltså 57/75*56/74*55/73*......*27/45?

[CopShootCop]

Det stämmer bra det, sannolikheten blev mycket mindre än vad jag intuitivt trodde.

[mr-flow]

Varför just 31 bitar?

[CopShootCop]

Det stämmer bra det, sannolikheten blev mycket mindre än vad jag intuitivt trodde.

 

EDIT: Nästan, sista termen ska väl vara 26/44.

 

Sen går det ju att skriva om väldigt snyggt så här.

 

(57!/25!)*(43!/75!)

[yberjonte]

Varför just 31 bitar?

 

75-44

[Klyka]

Jag behöver 18 speciella bitar för att bygga en figur. Dessa bitar läggs i en låda tillsammans med 57 andra bitar (sammanlagt 75 bitar).

Jag får nu plocka upp 44 bitar ur lådan (utan att titta i lådan).

Hur stor är chansen att jag nu har de bitar jag behöver för att bygga figuren?

 

Tack på förhand!

 

Den lösningen verkar inte stämma. Viss reservation för att min lösning inte heller stämmer och jag inte riktigt förstår hur ni har tänkt. Varför är 31 (75-44) relevant? Om vi nu plockar 31 av fel bitar, varför är det relevant?

 

Ett mer praktiskt och elegant sätt är att använda kombinationer. En kombination är ett set. Ett set är en serie element utan hänsyn till ordningen. Till exempel så är [1, 2, 3] samma set som [2, 3, 1] men inte samma som [1, 2, 4] eller [1, 2]. [1, 2] är däremot ett subset av [1, 2, 3], dvs det innehåller element tagna från det senare settet.

 

Här har vi ett set bestående av 75 bitar (element). Det kan skrivas som [1, 2, [...], 75]. Vi ska ur detta set slumpmässigt dra ett subset med 44 element, och vi hoppas på att få ett subset som i sin tur innehåller subsettet [1, 2, [...], 18]. Då alla set som innehåller samma element är att anse som ett och samma set (ordningen av elementen är ointressant), så skiljs de set om 44 element som innehåller subsettet [1, 2, [...], 18] endast åt genom sammansättningen av de övriga 26 elementen.

 

Så, hur många sets om 44 element, som innehåller subsettet [1, 2, [...], 18], finns det? Jo, lika många som det finns subsets av [19, 20, [...], 75] som innehåller 26 element. Så hur många sådana subsets finns det då? Här kommer vi in på kombinationer:

 

C(57,26)

 

Detta läses som "57 choose 26" och är notationen för kombinationer. Formellt gäller att

 

C(n,k) = n! / (k! * (n - k)!)

 

och resultatet är hur många subsets med k element man kan dra ur ett set med n element (kom ihåg, ordningen är irrelevant. Detta är alltså precis vad vi letar efter. Vi har ett set om 75-18=57 bitar som inte är de byggstenar vi letar efter, och vi vill veta hur många subsets om 26 element som vi kan dra ur detta set. Alltså ovanstående C(57,26). Detta är, enligt förklaringen ovan, hur många sätt det finns att dra våra 18 element ur det ursprungliga settet med 75 element.

 

Totalt kan vi dra 44 bitar av de ursprungliga 75 på C(75,44) sätt. Alltså gäller att chansen att dra de 18 rätta bitarna genom slumpmässig dragning av 44 bitar från de ursprungliga 75 är:

 

C(57,26) / C(75,44) = ~ 1.08^(-5)

 

Dvs väldigt liten.

[yberjonte]

Den lösningen verkar inte stämma. Viss reservation för att min lösning inte heller stämmer och jag inte riktigt förstår hur ni har tänkt. Varför är 31 (75-44) relevant? Om vi nu plockar 31 av fel bitar, varför är det relevant?

 

 

Om jag plockar "de resterande" 31 bitarna och inte får någon av mina 18 bitar så måste det betyda att jag tog dessa 18 under de första 44. Eller?

Någon fler får gärna komma med synpunkter

[CopShootCop]

Ännu ett sätt att lösa problemet.

 

Är ganska säker att lösningen jag beskrev fungerar. Jag är helt med på hur du tänker och det fungerar också, blir lite mer komplicerade räkningar dock IMO. Lösningarna bör om de utförs rätt ge samma resultat.

 

Att det inte finns någon av de 18 i de resterande bitarna är ekvivalent med att man valt ut alla 18 under de första 44. Spelar ju ingen roll ifall man väljer de 44 först eller sist så att säga.

 

Fan vad jobbigt det är att förklara hur man tänker när det gäller sånt här. Speciellt på ett forum.

[Klyka]

Om jag plockar "de resterande" 31 bitarna och inte får någon av mina 18 bitar så måste det betyda att jag tog dessa 18 under de första 44. Eller?

Någon fler får gärna komma med synpunkter

 

Ok, då är jag med. Vi tänker att vi redan har gjort vårt slumpmässiga urval av 44 bitar, och ist för att kolla om alla 18 "rätta" bitar finns bland de valda, så kollar vi om de 31 som ligger kvar i lådan bara är "felaktiga" bitar. Om så är fallet, så måste de 18 rätta bitarna finnas bland de 44 som vi plockat upp.

 

Denna beräkning med kombinationer:

 

C(57,31) / C(75,31) ~ 1.08^(-5)

 

Dvs alla kombinationer om 31 av 57 felaktiga bitar, delat med alla kombinationer om 31 av 75 bitar totalt.

 

Svaret blir detsamma som i min förra uträkning, så jag håller med om CopShootCops lösning. Förstod inte hur han menade innan.

 

Men det som CopShootCop skrev i fjärde inlägget stämmer inte:

 

(57!/25!)*(43!/75!) ~ 6.36^(-6)

 

..vilket är fel svar.

 

(57!/26!)*(44!/75!) ~ 1.08^(-5)

 

ska det vara. Isf är vi helt överens.