Bankroll och upptagets påverkan

[rilleg]

Tog ett par timmar , men

 

Antagande 1: Vi förenklar till fallet där man i en pokersession antingen dubblar, eller förlorar hela upptaget u med några sannolikhet p.

Detta antagande är felaktigt och kommer att uppfatta situationen något mera riskfylld är den faktiska.

Med det antagandet så är det förväntade förtjänsten i en session

(1) (2p-1)u

Antagande 2: Ifall vi antar att man har samma förväntade vinst oavsett upptag så ger det

(2) (2p-1)u = ev => p = (ev/u+1)/2

vilket är närapå rätt.

 

(anledningen till att det verkar underligt att man inte dubblar upp lika ofta är för att man under samma tidsdistribution bara kommer till en viss del av en dubblering och att detta kan ses som delvis en dubblering och delvis en total förlust. Hade man haft en mindre stack skulle detta räknas mer som en dubblering än motsvarande fall.).

 

Varje session förändrar därmed BR med ett upptag (plus eller minus) och om vi vill veta sannolikheten att vi ska tjäna ytterliggare N upptag till någon kritisk gräns N utan att ha förlorat k upptag under loppet så följer en s.k. random walk with absorbing barriers. Grimmett&Stirzakers Probability and Random Processes har just ett sådant exempel där sannolikheten att bli bankrupt är

(3) p_k = ((q/p)^k - (q/p)^N)) / (1 - (q/p)^N)

där q = 1 - p, vilket ger q/p = (1 - (ev/u + 1) / 2) / ((ev / u + 1) / 2) = (2 - ev/u - 1) / (ev / u

+ 1) = (1 - ev/u) / (1 + ev/u) = (u - ev) / (u + ev)

sätter vi t.ex. N = 2k, a = u - ev, b = u + ev och antar att ev != 0 (i.o.m. div. med 0) och p != q, får vi

p_k = ((q/p)^k - (q/p)^2k)) / (1 - (q/p)^2k) =

= ((q/p)^k - (q/p)^2k)) / (1 - (q/p)^2k) =

= (a^k / b^k - a^2k / b^2k)) / (1 - a^2k / b^2k) =

= a^k (b^k - a^k) / b^2k / (b^2k - a^2k) * b^2k =

= a^k (b^k - a^k) / ((b^k + a^k) * (b^k - a^k)) =

= a^k / (b^k + a^k) =

= 1 / ((b / a)^k + 1) =>

(4) p_k(u,ev) = 1 / (1 + ((u + ev) / (u - ev)) ^ k)

(eller (u - ev)^k / ((u + ev)^k - (u - ev)^k) om man tycker att det är mera överskådligt).

Sätt

(5) G = (u + ev) / (u - ev) = p / q

d.v.s. sannolikheten att dubbla genom sannolikheten att förlora allt.

då får vi

(6) p_k(G) = 1 / (1 + G^k)

 

Anta att jag har en timförtjänst på 10BB. Vi kan då låta varje session bestå av en timme och sätta EV = 10BB, u = 100BB och k = 1000BB / u = 10. Låt oss kalla detta konf.1. Vi får då G1 = 110BB / 90BB = 1.22... och p = (ev/u+1)/2 = 0.55, vilket ger

p_10 = 1 / (1 + G1^k) = 1 / (1 + 1.22... ^ 10) = 1 / 7.2 = 11.85%.

Vi spelar istället med k = 30 (konf.2.):

p_30 = 1 / (1 + 1.2 ^ 30) = 1 / 238 = 0.2424%

Så förutsatt att vi går med på vårat antagande har man i konf.1. 12% chans att bli av med 1000BB, skulle man tredubbla den tillgängliga BR minskar risken 49 ggr.

Tillgängliga upptag risk (%)

1 45.00

2 40.10

3 35.39

4 30.95

5 26.83

6 23.08

8 16.72

10 11.85

12 8.26

15 4.70

20 1.78

25 0.66

30 0.24

35 0.09

40 0.03

45 0.01

Vi beräknar samma lista för dubbla upptaget, G2 = 210BB / 190BB = 1.105

1 47.51

2 45.02

3 42.57

4 40.15

5 37.77

6 35.46

8 31.03

10 26.92

12 23.18

15 18.28

20 11.95

25 7.61

30 4.76

35 2.95

40 1.81

45 1.11

50 0.67

55 0.41

60 0.25

65 0.15

70 0.09

75 0.06

80 0.03

85 0.02

90 0.01

Vi ser hur risken för 10 upptag ökar 2.3 ggr. och 20 ggr för 30 upptag. 30-upptagsnivån för G1 nås först på 60 upptag för G2.

 

Frågan löd som följande: anta att vi vill hålla p_k(u, ev) konstant då vi ändrar u men håller ev konstant, vilket värde antar k? låt k' = k och u' = du

p_k(u, ev) = p_k'(u', ev) =>

=> 1 / (1 + G^k) = 1 / (1 + G'^k')

=> G^k = G'^k' =>

(7) k' = k log(G) / log(G')

Om vi t.ex. vill gå från G1 (1.22) till G2 (1.11) för 20 upptag:

k' = k log(1.22) / log(1.11)) = k 0.0863... / .0453... =~ 1.9k

d.v.s. bankrullen måste ökas med 90% för samma risk.

 

Som sagt är antagande 1 något pessimistisk dock.

 

var hittar man studier för att räkna så här?

[Zjdanov]

Moderatorer: Vore det inte en idé att införa förbud mot idiotlånga citat?

 

Förstör överskådligheten å det grövsta tycker jag.

 

Visserligen borde väl skribenter inse detta själva, i vart fall "avancerade" sådana, men så verkar inte vara fallet.

[Sansrom]

Välkommen tillbaka v_b!

[Zjdanov]

Jäkligt synd att det inte blev något bra av det här.

 

Men precis som Klyka säger får man väl gå lite på känn och justera upp kraven något.

[Zjdanov]

Klyka productions presenterar addition:

 

2+2 = 4.

 

En del tror att 2+2 är 7 eller tom 57 men Klyka productions kan härmed intyga att 2+2 = 4.

 

Nästa dags ämne: Äter eller dricker man inte dör man till slut - chockerande sanning!

 

/Klyka.

Läs tråden så ser du att det inte verkar självklart för alla.

 

Av någon konstig anledning skrev jag mitt inlägg halv 5 efter krogen. Ta ingen notis om det.

[slicken]

---

[Klyka]

Mycket

Ditt antagande om att vi under en session antingen dubblar eller förlorar vårt upptag är rimligt, om vi ser varje session som den tid det tar att antingen dubbla eller förlora detta. Detta kan vi göra pga att en session inte är något definitivt begrepp, vi kan välja att kalla vad vi vill för "en session". Så som dina uträkningar ser ut i början så tycks du använda dig av just denna syn på en session.

 

Dock frånfaller du det senare i beräkningarna. Du räknar med EV/h, vilket inte är förenligt med ovanstående. Det gör att antagandet om att vi antingen dubblar eller förlorar upptaget blir orimligt och missvisande, även för beräkningens skull. Bättre hade varit att inte sätta in något EV, utan en uppskattning av p.