Att du har Ad samt att Kd är ute minskar chansen att någon fick in backdoor flushen ganska ordentligt.
Buttons syn tyder på att han har en range vägd mot händer som gillar multiwaypotter (så t.ex. 76s, 87s bör vara rimliga) och AK, KQ blir mindre rimliga.
BBs range är ju enorm med tanke på oddsen han får pre.
Jag skulle gärna pokerstovea det men rent spontant känns det som att det finns hyffsat många händer som är sämre och synar (QJ, QT, Q9s, A7(s), 87s, 76s, TT, 99, 88, 66). Även JJ om det är en passiv motståndare och 33, 44 om det är någon som synar ner tunt.
En fördel med check är att du kan få Button att betta en sämre eller missad hand och då kanske även öka chansen att BB synar med en medioker hand (vilket han kanske inte gjort om det gått bet-call före).
Kombinationen av att du ibland kan tjäna 1 bet på att checka samt minskad risk att förlora 2 bets om du blir raisad kanske kan överväga gångerna du missar 1 eller 2 bets när du inte bettar.
Utan mer information så säger jag tills vidare att bet och check har samma EV och isåfall bettar jag hellre