Du har naturligtvis rätt i att axiomen som väljs beror på den enskilde individen och om denne individ accepterar dem eller inte.
Angående definitionen, som jag citerade :
"Vetenskap är det systematiska sökandet efter sådan kunskap som inte beror på den enskilda individen, utan som envar skulle kunna återfinna eller kontrollera."
, så räknar man dock knappast axiomen till denna kunskap man söker, utan endast dess följder. Man säger ju aldrig att man bevisar något i absolut mening, utan bara relativt de givna axiomsystemen. Man forskar ju lite förenklat fram en massa påståenden i stil med "Om detta är sant så följer att detta andra påstående är sant". Dylika logiska slutledningar är helt oberoende av individen och alla andra som försöker återskapa kunskapen kommer att komma fram till samma resultat.
Det sistnämnda är just det som ingår i definitionen av vetenskap (om vi utgår från den från "Vetenskap och folkvett").
Axiomen kan naturligtvis aldrig bevisas. Men detta "problem" är knappast unikt för matematiken. Läget är betydligt värre i alla andra vetenskaper. Vi kan ju inte kan härleda/bevisa något från ingenting. Det enda vi kan göra är "rimliga" grundantaganden vi utgår ifrån.
Vad som är "rimligt" är dock upp till individen att avgöra.
Så om även axiomen ska vara oberoende av individen för att vi ska kunna kalla något för vetenskap, ja då existerar ingen vetenskap överhuvudtaget.
Edit : Inom tex fysiken och de flesta andra naturvetenskaper så används ju dessutom matematik som en naturlig del av teoribyggandet. Om matematik inte skulle vara en vetenskap så får vi därmed som en direkt följd att inte heller fysik är en vetenskap.